Не люблю задания, в которых больше одной задачи. Но эти задачи симпатичные, допускающие не совсем стандартные рассуждения. Вот ради этих рассуждений я и берусь за решение задач.
4. 
ответ: - 1
Объяснение: арктангенс трех четвертых и арктангенс четырех третьих - это острые углы в прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4, поэтому их сумма равна 90 градусам.
6. арктангенсы одной второй и одной третьей меньше 45 градусов, поэтому их сумма лежит в первой четверти. Воспользуемся формулой
Осталось сосчитать синус полученного угла и возвести результат в квадрат. ответ: 0,5
5. Арксинус 4/5 - это острый угол (лежащий против катета, равного 4) прямоугольного треугольника ABC с катетами BC=4 и AC=3 и гипотенузой AB=5. Нас интересует половина этого угла, поэтому рисуем биссектрису AD , которая поделит катет BC на отрезки CD=3/2 и DB=5/2, пропорциональные боковым сторонам. В прямоугольном треугольнике ADC катеты AC=3; CD=3/2. Чтобы упростить вычисления, рассмотрим подобный ему треугольник A'D'C' с катетами A'C'=2 и C'D'=1 и гипотенузой A'D'=корень из 5. Интересующий нас угол, равный половине арксинуса 4/5 - это угол A' этого треугольника, а второй острый угол равен арктангенсу 2. Поэтому
ответ: 0,2
3) Биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилегающим сторонам.
КС/ВК = АС/АВ
18/8=АС/12
АС=(18 х 12) : 8=27
4) BM : MC = 2 : 9, то есть BM = 2x и MC = 9x
Рассмотрим ΔABC и ΔKBM
По условию MK ║ AC ⇒ ∠BKM = ∠A - соответственные углы
∠B - общий ⇒ ΔABC ~ ΔKBM по двум равным углам. ⇒
ответ: AC = 99 см
5) Рассмотрим треугольники ВСО и АОД:
1) угол ВСО = углу АОД (вертикальные углы);
2) угол АДО = углу ОВС (накрест лежащие при параллельных ВС и АД и секущей АД)
Значит треугольник ВСО подобен треугольнику АОД по первому признаку.
Из подобнисти треугольников следует пропорциональность сторон:
ВС/AD = BO/OD
3/5 = х/х-24
72-3х = 5х
-8х = -72
х = 9
ВО = 9 см
ОД = 15 см