№1 Последовательность an задана формулой аn =n²-2n-1. Найдите
номер члена последовательности, равного 7.
а) 4 б)-2 в)2 г)-4
№2 В геометрической прогрессии в1=8; в3=24. Найдите в5-?
а)128 б)-72 в)72 г)36
№3 12; 6;…..-бесконечная геометрическая прогрессия. Найти её
сумму Sn-?
а)6 б)-12 в)24 г)12
Для этого подставим значение 7 в формулу и решим уравнение:
7 = n² - 2n - 1
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
n² - 2n - 1 - 7 = 0
n² - 2n - 8 = 0
Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b² - 4ac, где a = 1, b = -2, c = -8
D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36
Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
n₁ = (-b + √D) / (2a)
n₂ = (-b - √D) / (2a)
n₁ = (-(-2) + √36) / (2 * 1)
n₁ = (2 + 6) / 2
n₁ = 8 / 2
n₁ = 4
n₂ = (-(-2) - √36) / (2 * 1)
n₂ = (2 - 6) / 2
n₂ = -4 / 2
n₂ = -2
Таким образом, номером члена последовательности, равного 7, является 4 (a).
№2 В геометрической прогрессии в₁=8; в₃=24. Найдем в₅.
Для нахождения в₅, воспользуемся формулой для общего члена геометрической прогрессии:
вₙ = в₁ * q^(n-1), где в₁ - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии
Из условия известны в₁=8 и в₃=24. Подставим эти значения, чтобы найти q:
24 = 8 * q^(3-1)
24 = 8 * q²
Выразим q²:
q² = 24 / 8
q² = 3
Извлечем квадратный корень из обеих сторон:
q = √3
Теперь можем найти в₅:
в₅ = в₁ * q^(5-1)
в₅ = 8 * (√3)⁴
в₅ = 8 * 3
в₅ = 24
Таким образом, в₅ равно 24 (г).
№3 Последовательность 12, 6, ... является бесконечной геометрической прогрессией. Найдем ее сумму Sn.
Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула:
Sn = a₁ / (1 - q), где Sn - сумма прогрессии, a₁ - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии (модуль q < 1)
Из условия известно, что a₁ = 12. Найдем q, используя соотношение между членами прогрессии:
6 = 12 * q
Выразим q:
q = 6 / 12
q = 1/2
Теперь можем найти сумму:
Sn = 12 / (1 - 1/2)
Sn = 12 / (1/2)
Sn = 12 * 2
Sn = 24
Таким образом, сумма Sn равна 24 (г).