Question

Объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривой y=x^2+1 и прямой y=2x+1 равен

(ответ округлить до целых, число "пи" взять равным 3)

Answer 1

$y=x^2+1 \\ \\ x^2=y-1 \\ \\ x=\pm\sqrt{y-1} \\ \\ \\ \\ y=2x+1 \\ \\ 2x=y-1 \\ \\ x=\frac{1}{2}\cdot (y-1)$

$\sqrt{y-1}=\frac{1}{2}\cdot (y-1) \ \ \ \ \ \ |^2 \\ \\ y-1 =\frac{1}{4} \cdot (y^2-2y+1) \ \ \ \cdot | \ 4 \\ \\ 4y-4=y^2-2y+1 \\ \\ y^2-2y-4y+1+4=0 \\ \\ y^2-6y+5=0 \\ \\ y_{1,2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm4}{2} \\ \\ y_1=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5; \ \ \ y_2=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1$

$V=\pi \int\limits^a_b {f^2(y)} \, dy \\ \\ V=V_1-V_2 \\ \\ V_1=\pi \int\limits^5_1 {(\sqrt{y-1})^2} \, dy=\pi \cdot \int\limits^5_1 {(y-1)} \, dy=\pi \cdot (\frac{y^2}{2}-y)|^5_1=\pi \cdot ( (\frac{5^2}{2}-5) - (\frac{1^2}{2}-1))=\\ \\ = \pi \cdot ( \frac{25}{2}-5-\frac{1}{2}+1)=\pi \cdot (\frac{25-10-1+2}{2})=\pi\cdot \frac{16}{2}=8\pi$

$V_2= \pi \int\limits^5_1 {(\frac{1}{2}\cdot (y-1))^2} \, dy=\frac{\pi}{4}\int\limits^5_1 {(y-1)^2} \, dy=\frac{\pi}{4}\int\limits^5_1 {(y^2-2x+1)} \, dy=\\\\= \frac{\pi}{4}\cdot (\frac{y^3}{3}-2\cdot \frac{y^2}{2} +y )|^5_1 =\frac{\pi}{4}\cdot (\frac{y^3}{3}-y^2 +y )|^5_1 =\frac{\pi}{4}\cdot ( (\frac{5^3}{3}-5^2+5 ) - (\frac{1^3}{3}-1^2+1 ) ) =\\ \\ = \frac{\pi}{4}\cdot (\frac{125}{3}-20-\frac{1}{3})=\frac{\pi}{4}\cdot (\frac{124-60}{3})=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{64}{3}=\frac{16\pi}{3}$

$V=V_1-V_2=8\pi-\frac{16\pi}{3}=\frac{24\pi-16\pi}{3}=\frac{8\pi}{3} =\frac{8\cdot 3}{3}=8$