Чтобы найти все натуральные значения, при которых выполняется данное неравенство, мы можем последовательно подставлять значения натурального числа n, начиная с n = 1, и проверять, выполняется ли неравенство для каждого значения.
Давайте начнем:
Подставим n = 1:
2 в степени 1 равно 2, а 3 умножить на 1 минус 1 равно 2.
Таким образом, неравенство не выполняется при n = 1.
Подставим n = 2:
2 в степени 2 равно 4, а 3 умножить на 2 минус 1 равно 5.
Таким образом, неравенство не выполняется при n = 2.
Подставим n = 3:
2 в степени 3 равно 8, а 3 умножить на 3 минус 1 равно 8.
Таким образом, неравенство выполняется при n = 3.
Подставим n = 4:
2 в степени 4 равно 16, а 3 умножить на 4 минус 1 равно 11.
Таким образом, неравенство выполняется при n = 4.
Подставим n = 5:
2 в степени 5 равно 32, а 3 умножить на 5 минус 1 равно 14.
Таким образом, неравенство выполняется при n = 5.
Мы можем продолжать таким образом, но заметим, что при n = 6 неравенство уже не выполняется:
2 в степени 6 равно 64, а 3 умножить на 6 минус 1 равно 17.
Таким образом, значениями n, при которых выполняется неравенство, являются 3, 4 и 5.
Чтобы разложить выражение на множители, мы должны найти такие выражения, которые перемножены между собой дают исходное выражение.
Давайте разложим выражение на множители пошагово:
1. Чтобы начать, мы можем сгруппировать первый и последний члены в скобки:
4t^2 - 40t + 100 = (4t^2 - 40t) + 100
2. Заметим, что у нас есть общий множитель 4t у первых двух членов. Выносим его за скобки:
(4t^2 - 40t) + 100 = 4t(t - 10) + 100
3. Теперь у нас есть два слагаемых: 4t(t - 10) и 100. Исходное выражение стало более простым.
Таким образом, исходное выражение 4t^2 - 40t + 100 разложено на множители как 4t(t - 10) + 100.
Теперь давайте посмотрим на варианты и выберем правильные:
1. (2t - 10) ⋅ (2t + 10)
Мы можем разложить первое слагаемое 4t(t - 10) как (2t - 10)(2t + 10), но у нас также есть второе слагаемое 100. Так что это не правильный вариант.
2. (2t + 10)^2
Это возведение в квадрат, а не разложение на множители. Так что это не правильный вариант.
3. (2t + 10) ⋅ (2t + 10)
Мы можем разложить первое слагаемое 4t(t - 10) как (2t - 10)(2t + 10), и у нас нет второго слагаемого. Так что это правильный вариант.
4. (2t - 10) ⋅ (2t - 10)
Мы можем разложить первое слагаемое 4t(t - 10) как (2t - 10)(2t + 10), но у нас также есть второе слагаемое 100. Так что это не правильный вариант.
Таким образом, мы выбираем вариант:
(2t + 10) ⋅ (2t + 10)
Давайте начнем:
Подставим n = 1:
2 в степени 1 равно 2, а 3 умножить на 1 минус 1 равно 2.
Таким образом, неравенство не выполняется при n = 1.
Подставим n = 2:
2 в степени 2 равно 4, а 3 умножить на 2 минус 1 равно 5.
Таким образом, неравенство не выполняется при n = 2.
Подставим n = 3:
2 в степени 3 равно 8, а 3 умножить на 3 минус 1 равно 8.
Таким образом, неравенство выполняется при n = 3.
Подставим n = 4:
2 в степени 4 равно 16, а 3 умножить на 4 минус 1 равно 11.
Таким образом, неравенство выполняется при n = 4.
Подставим n = 5:
2 в степени 5 равно 32, а 3 умножить на 5 минус 1 равно 14.
Таким образом, неравенство выполняется при n = 5.
Мы можем продолжать таким образом, но заметим, что при n = 6 неравенство уже не выполняется:
2 в степени 6 равно 64, а 3 умножить на 6 минус 1 равно 17.
Таким образом, значениями n, при которых выполняется неравенство, являются 3, 4 и 5.