Чтобы исследовать функцию на монотонность, мы должны рассмотреть производную этой функции. Производная позволяет нам выяснить, в каких интервалах функция возрастает или убывает.
Для начала, давайте найдем производную функции y = √(4x+9-2x).
Для этого нам понадобится использовать правила дифференцирования. Производная функции √(4x+9-2x) будет равна:
dy/dx = d/dx(4x+9-2x)^(1/2).
Возведение в степень 1/2 можно представить как возведение в степень 1, а затем взятие квадратного корня:
dy/dx = (4x+9-2x)^(1/2)^1 = (4x + 9 - 2x)^0.5.
Теперь давайте упростим это выражение:
dy/dx = (2x + 9)^0.5.
Мы получили выражение для производной функции y по x.
Теперь давайте рассмотрим, когда производная положительна и когда она отрицательна.
dy/dx > 0 (положительно):
(2x + 9)^0.5 > 0.
Так как мы рассматриваем квадратный корень, мы исключаем отрицательные значения.
Таким образом, (2x + 9)^0.5 > 0 при любых значениях x, кроме x = -4.5. Значение -4.5 исключается, потому что в этой точке корень равен нулю.
dy/dx < 0 (отрицательно):
(2x + 9)^0.5 < 0.
Так как мы исключили отрицательные значения в предыдущем пункте, данное неравенство невозможно.
Таким образом, мы получили, что производная функции всегда положительна за исключением x = -4.5, где она равна нулю.
Исходя из этой информации, мы можем сделать следующие выводы:
1. Функция возрастает во всех точках, за исключением x = -4.5.
2. Функция достигает своей минимальной точки в x = -4.5, где производная равна нулю.
Данная информация позволяет нам исследовать монотонность функции y = √(4x+9-2x).
Объяснениепроизводная от у = \frac{4}{2 \sqrt{4x+9} } - 2 = \frac{2}{ \sqrt{4x+9} } - 2
4х1 + 9 > 0
4х1 + 9 = 0
х1 = - 9/4
х2 = -2
- + -
0.
-9/4 -2
возрастает на ( -9/4 ; -2 ]
убывает на ( - бесконечность ; -9/4 ) - этот промежуток можно не записывать, так как его не существует
[ 2 ; + бесконечность ):