Question

Найдите наибольшее значение функции
y=17+27x−2x^2/3 на отрезке [1;99].

Answer 1

Для решения данной задачи, нам нужно найти максимальное значение функции на заданном отрезке [1;99].

Шаг 1: Найдем значения функции на границах отрезка

Подставим значения границ отрезка в функцию, чтобы найти значения функции на этих точках.
Для x = 1, y = 17 + 27(1) - (2(1)^2)/3 = 17 + 27 - 2/3 = 44 2/3
Для x = 99, y = 17 + 27(99) - (2(99)^2)/3 = 17 + 2673 - (2(9801))/3 = 17 + 2673 - 6526 = -3836

Шаг 2: Найдем точку экстремума на отрезке

Чтобы найти точку экстремума на отрезке, нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю, а затем проверить результат на отрезке [1;99].

Для этого найдем первую производную функции:
y' = 27 - (4x)/3

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
27 - (4x)/3 = 0
27 = (4x)/3
x = 81/4

Теперь проверим значение x = 81/4 на отрезке [1;99]:
1 ≤ 81/4 ≤ 99 - это выполняется, поэтому точка x = 81/4 находится на отрезке.

Подставляем x = 81/4 в исходную функцию, чтобы найти значение y:
y = 17 + 27(81/4) - (2(81/4)^2)/3
= 17 + 2187/4 - (2(6561/16))/3
= 17 + 2187/4 - (2(6561)/48)
= 17 + 2187/4 - (8748/48)
= 17 + 2187/4 - 8748/48
= 17 + 2187/4 - 8748/48
= 17 + 2187/4 - (1458/8)
= 17 + 2187/4 - 729/4
= 17 + (2187 - 729)/4
= 17 + 1458/4
= 17 + 364.5
= 381.5

Шаг 3: Сравнение значений функции

Теперь сравним найденные значения функции на границах отрезка и в точке экстремума:

Значение на x = 1: 44 2/3
Значение на x = 99: -3836
Значение в точке x = 81/4: 381.5

Максимальное значение функции равно 381.5, которое достигается в точке x = 81/4 на заданном отрезке [1;99].