• 1. Преобразуйте в многочлен:
а) (у - 4)2; 4X+6Y
б) (6х + а)2;
в) (5с - 1) (5с + 1);
г) (3а + 2b) (3а - 2b).
• 2. У выражение:
(а - 9)2 - (81 + 2а).
• 3. Разложите на множители:
а) х2 - 121;
б) 25х2 - 10ху + у2.
4. Решите уравнение:
(2 - х)2 - х (х + 1,5) = 4.
5. Выполните действия:
а) (у2 - 2а) (2а + у2);
б) (3х2 + х)2;
в) (2 + т)2 (2 - т)2.
6. Разложите на множители:
а) 4х2y2 - 9а4;
б) 25а2 - (а + 3)2;
в) 27т3 + п3.
Чтобы уравнение имело действительное решение , достаточно чтобы дискриминант был неотрицательным.
D/4 = (a^3-b^3)^2 -(a^2-b^2)*(a^4-b^4)>=0
То есть , необходимо доказать , что при любых a и b справедливо строгое неравенство :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4)
(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)^2>=(a-b)^2* (a+b)^2 * (a^2+b^2)
Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
Что и требовалось доказать.