Question

2. Найти производную сложной функции

а)f(x) = (7 − 3)^5
б)f(x) =sin(x^2+2x)

Answer 1

Добрый день! Давайте рассмотрим ваш вопрос по порядку.

a) Найти производную сложной функции f(x) = (7 − 3)^5.

Чтобы найти производную сложной функции, используется правило цепной дифференциации, которое гласит:

Если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) * g'(x).

Применяя это правило к нашей функции, у нас имеем f(x) = (7 − 3)^5, где g(x) = 7 − 3.

Используя формулу для производной степенной функции, мы получим:

f'(x) = 5 * (7 − 3)^(5-1) * (7 − 3)'

Теперь нам нужно найти производную величины g(x) = 7 − 3, то есть (7 − 3)'.

Знаем, что производная константы равна нулю, поэтому (7 − 3)' = 0.

Подставляем это значение обратно в формулу для производной сложной функции:

f'(x) = 5 * (7 − 3)^(5-1) * 0 = 0.

Ответ: производная сложной функции f(x) = (7 − 3)^5 равна нулю.

b) Найти производную сложной функции f(x) = sin(x^2+2x).

Снова используем правило цепной дифференциации:

Если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) * g'(x).

В данном случае у нас f(x) = sin(x^2+2x), а g(x) = x^2+2x.

Для нахождения производной функции sin(x) мы знаем, что производная sin(x) равна cos(x), поэтому f'(x) = cos(x^2+2x).

Теперь нам нужно найти производную функции g(x) = x^2+2x.

Применяем правило для производной суммы функций:

(g + h)' = g' + h'.

Получаем:

g'(x) = (x^2)' + (2x)'

Для x^2 первая производная равна 2x, а для 2x первая производная равна 2.

Подставляем результат в формулу для производной сложной функции:

f'(x) = cos(x^2+2x) * (2x + 2).

Ответ: производная сложной функции f(x) = sin(x^2+2x) равна cos(x^2+2x) * (2x + 2).

Надеюсь, это решение понятно вам! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!