Для решения данной задачи, нам необходимо знать следующую формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:
S_n = a_1 * (r^n - 1) / (r - 1)
где S_n - сумма первых n членов геометрической прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.
В данном случае, у нас дано, что S_5 = 847 и b_1 = 7. Мы хотим найти значение знаменателя r.
Подставим известные значения в формулу:
847 = 7 * (r^5 - 1) / (r - 1)
Перейдем к решению уравнения:
847 * (r - 1) = 7 * (r^5 - 1)
847r - 847 = 7r^5 - 7
7r^5 - 847r + 840 = 0
Теперь нам нужно найти рациональные корни этого уравнения. Мы можем попробовать подставить различные значения r и проверить, суммируются ли они до 0. Но это может быть довольно трудоемким и долгим процессом.
Другой подход к решению состоит в том, чтобы применить метод половинного деления, чтобы найти рациональный корень. Для этого нам нужно найти интервал, в котором находится рациональный корень.
Найдем значения уравнения для r = 1, 2, 3 и проверим, какие знаки получаются:
-840, 133, 1602
Знак меняется отрицательный -> положительный -> положительный. Значит, рациональный корень находится в интервале (2, 3).
Теперь мы можем применить метод половинного деления для нахождения более точного значения рационального корня.
Делим интервал пополам:
c = (a + b) / 2
где a = 2 и b = 3.
Вычисляем значение с:
c = (2 + 3) / 2 = 2.5
Теперь вычислим значение уравнения с этим значением:
7 * (2.5^5 - 1) - 847 * 2.5 + 840 ≈ -6.6
Значение отрицательное, поэтому рациональный корень должен находиться в интервале (2.5, 3).
Повторяем процесс деления пополам:
a = 2.5 и b = 3.
Вычисляем значение с:
c = (2.5 + 3) / 2 = 2.75
Вычисляем значение уравнения с этим значением:
7 * (2.75^5 - 1) - 847 * 2.75 + 840 ≈ -2.9
Значение отрицательное, поэтому рациональный корень должен находиться в интервале (2.75, 3).
Повторяем процесс еще раз:
a = 2.75 и b = 3.
Вычисляем значение с:
c = (2.75 + 3) / 2 = 2.875
Вычисляем значение уравнения с этим значением:
7 * (2.875^5 - 1) - 847 * 2.875 + 840 ≈ 0.21
Теперь получили значение, которое очень близко к 0. Значит, r ≈ 2.875
Сравниваем это значение со значениями из вариантов ответа:
1) -2
2) -3
3) 2
4) 3/5
5) 3
Наше приближенное значение 2.875 наиболее близко к варианту 3.
Итак, ответ на вопрос: знаменатель геометрической прогрессии равен 3.
S_n = a_1 * (r^n - 1) / (r - 1)
где S_n - сумма первых n членов геометрической прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.
В данном случае, у нас дано, что S_5 = 847 и b_1 = 7. Мы хотим найти значение знаменателя r.
Подставим известные значения в формулу:
847 = 7 * (r^5 - 1) / (r - 1)
Перейдем к решению уравнения:
847 * (r - 1) = 7 * (r^5 - 1)
847r - 847 = 7r^5 - 7
7r^5 - 847r + 840 = 0
Теперь нам нужно найти рациональные корни этого уравнения. Мы можем попробовать подставить различные значения r и проверить, суммируются ли они до 0. Но это может быть довольно трудоемким и долгим процессом.
Другой подход к решению состоит в том, чтобы применить метод половинного деления, чтобы найти рациональный корень. Для этого нам нужно найти интервал, в котором находится рациональный корень.
Найдем значения уравнения для r = 1, 2, 3 и проверим, какие знаки получаются:
-840, 133, 1602
Знак меняется отрицательный -> положительный -> положительный. Значит, рациональный корень находится в интервале (2, 3).
Теперь мы можем применить метод половинного деления для нахождения более точного значения рационального корня.
Делим интервал пополам:
c = (a + b) / 2
где a = 2 и b = 3.
Вычисляем значение с:
c = (2 + 3) / 2 = 2.5
Теперь вычислим значение уравнения с этим значением:
7 * (2.5^5 - 1) - 847 * 2.5 + 840 ≈ -6.6
Значение отрицательное, поэтому рациональный корень должен находиться в интервале (2.5, 3).
Повторяем процесс деления пополам:
a = 2.5 и b = 3.
Вычисляем значение с:
c = (2.5 + 3) / 2 = 2.75
Вычисляем значение уравнения с этим значением:
7 * (2.75^5 - 1) - 847 * 2.75 + 840 ≈ -2.9
Значение отрицательное, поэтому рациональный корень должен находиться в интервале (2.75, 3).
Повторяем процесс еще раз:
a = 2.75 и b = 3.
Вычисляем значение с:
c = (2.75 + 3) / 2 = 2.875
Вычисляем значение уравнения с этим значением:
7 * (2.875^5 - 1) - 847 * 2.875 + 840 ≈ 0.21
Теперь получили значение, которое очень близко к 0. Значит, r ≈ 2.875
Сравниваем это значение со значениями из вариантов ответа:
1) -2
2) -3
3) 2
4) 3/5
5) 3
Наше приближенное значение 2.875 наиболее близко к варианту 3.
Итак, ответ на вопрос: знаменатель геометрической прогрессии равен 3.