Ми знаємо, що точки екстремуму функції - це точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.
Знайдемо похідну функції:
f'(x) = 45x² - 5x⁴
Для знаходження точок екстремуму розв'яжемо рівняння f'(x) = 0:
45x² - 5x⁴ = 0
5x²(9 - x²) = 0
Отримали два корені: x₁ = 0 та x₂ = √9 = 3.
Так як похідна f'(x) являє собою параболу зі старшим коефіцієнтом, який додатній (45), то ми бачимо, що функція зростає до точки Х1, потім спадає до точки Х2, і знову зростає після точки Х₂. Отже, максимум функції досягається в точці Х₁ = 0 і становить f(0) = 0, а мінімум функції досягається в точці Х₂ = 3 і становить f(3) = 405.
Отже, точки екстремуму цієї функції: (0,0) - максимум і (3,405) - мінімум.
Для розв'язання системи рівнянь методом підстановки спочатку виражаємо одну змінну через іншу у одному з рівнянь, а потім підставляємо це значення у друге рівняння.
З першого рівняння виразимо x:
5x + 2y = 14
5x = 14 - 2y
x = (14 - 2y) / 5
Підставимо це значення x у друге рівняння:
14x - 3y = 2
14((14 - 2y) / 5) - 3y = 2
Спростимо вираз:
(196 - 28y) / 5 - 3y = 2
196 - 28y - 15y = 10
-43y = 10 - 196
-43y = -186
y = (-186) / (-43)
y = 186 / 43
Підставимо отримане значення y у вираз для x:
x = (14 - 2(186 / 43)) / 5
Після обчислень отримаємо:
x ≈ 0.3721
Отже, розв'язок системи рівнянь у вигляді впорядкованої пари (x;y) є:
(x, y) ≈ (0.3721, 4.3256)