Question

Первый член арифметической прогрессии равен двум, 2 и 3 соответственно равны квадратов двух последовательных натуральных чисел. найдите разность этой прогрессии.

Answer 1

Дано: 
(an) - арифметическая прогрессия
a₁=2
a₂= n²
a₃= (n+1)²
n∈N
d=?
Решение:
d=a₃-a₂=(n+1)²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1
d=a₂-a₁=n²-2
n²-2=2n+1
n²-2n-3=0
n₁=-1∉N; n₂=3∈N
n=3
a₂=n²=3²=9
d=a₂-a₁=9-2=7
ответ: 7

Answer 2

Так как у нас квадраты двух последовательный чисел, то один из них является четным числом, а второй нечетным, если нечетный третий член прогрессии, тогда второй должен быть четным, но разность между четным числом и 2 - четная, а между третьим (нечетным) и вторым (четным) членами нечетная, чего быть не может, значит второй член прогрессии нечетный, а третий четный.
Пусть второй член прогрессии равен: (2k-1)², а третий (2k)², где k ≥ 2, тогда должно выполняться:
d = (2k-1)² - 2 = (2k)² - (2k-1)²

4k² - 4k + 1 - 2 = 4k - 1
4k(k-2) = 0
k-2 = 0
k = 2

d = 4k - 1 = 7

ответ: 7

Доп:
члены прогрессии: 2; 9; 16