Question

Решите уравнение методом введения новой переменной
(х^2 + 6х)^2 – 4(х^2 + 6х + 1) – 17 = 0.

Answer 1

$(x^2+6x)^2-4(x^2+6x+1)-17=0\\\\t=x^2+6x\\\\t^2-4(t+1)-17=0\\t^2+3t-7t-21=0\\(t+3)(t-7)=0\\t+3=0\;\;\;t-7=0\\t=-3\;\;\;\;\;\;\;t=7$

$x^2+6x=-3\;\;\;\;\;x^2+6x=7\\D=24\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D=64\\x=\frac{-6\pm2\sqrt{6}}{2} \;\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{-6\pm8}{2} \\x_1=-3+\sqrt{6} \;\;\;\;\;x_3=1\\x_2=-3-\sqrt{6} \;\;\;\;\;x_4=-7$

$Otvet: x_1=-3+\sqrt{6}\;;\;x_2=-3-\sqrt{6} \;;\;x_3=1\;;\;x_4=-7.$

Answer 2

$x_{1} = -3 + \sqrt{6}$           $x_{2} = -3 - \sqrt{6}$           $x_{3} = 1$                $x_{4} = -7$

Объяснение:

(x² + 6x)² - 4(x² + 6x + 1) - 17 = 0

t = (x² + 6x)

t² - 4(t + 1) - 17 = 0

t² - 4t - 4 - 17 = 0

t² - 4t - 21 = 0

t² + 3t - 7t - 4 - 17 = 0 (Теорема Виета)

t² + 3t - 7t - 21 = 0

t(t + 3) - 7(t + 3) = 0

(t + 3)(t - 7) = 0

t₁ = -3; t₂ = 7

x² + 6x + 3= 0                                           x² + 6x - 7 = 0

D = b² - 4ac                                              D = b² - 4ac

D = 6² - 4 * 1 * 3                                        D = 6² - 4 * 1 * (-7)

D = 36 - 12                                                D = 36 + 28

D = 24                                                       D = 64

$x_{1,2} = \frac{-b +- \sqrt{D} }{2a}$                                           $x_{3,4} = \frac{-b +- \sqrt{D} }{2a}$

$x_{1,2} = \frac{-6 +- \sqrt{24} }{2 * 1}$                                          $x_{3,4} = \frac{-6 +- \sqrt{64} }{2 * 1}$

$x_{1,2} = \frac{-6 +- 2\sqrt{6} }{2}$                                          $x_{3,4} = \frac{-6 +- 8 }{2}$

$x_{1} = \frac{2(-3 + \sqrt{6)} }{2}$           $x_{2} = \frac{2(-3 - \sqrt{6)} }{2}$          $x_{3} = \frac{2 }{2}$               $x_{4} = \frac{-14}{2}$

$x_{1} = -3 + \sqrt{6}$           $x_{2} = -3 - \sqrt{6}$           $x_{3} = 1$                $x_{4} = -7$