М
Молодежь
К
Компьютеры-и-электроника
Д
Дом-и-сад
С
Стиль-и-уход-за-собой
П
Праздники-и-традиции
Т
Транспорт
П
Путешествия
С
Семейная-жизнь
Ф
Философия-и-религия
Б
Без категории
М
Мир-работы
Х
Хобби-и-рукоделие
И
Искусство-и-развлечения
В
Взаимоотношения
З
Здоровье
К
Кулинария-и-гостеприимство
Ф
Финансы-и-бизнес
П
Питомцы-и-животные
О
Образование
О
Образование-и-коммуникации
dendeniska228
dendeniska228
26.09.2021 20:47 •  Алгебра

(y²-2xy)dx+x²dy=0 диф. уравнение

👇
Ответ:
taush
taush
26.09.2021

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0

Разделим на dx:

y^2-2xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}= 0

Разделим на x^2:

\dfrac{y^2}{x^2} -2\cdot\dfrac{y}{x} +\dfrac{dy}{dx}= 0

\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 -2\cdot\dfrac{y}{x} +y'= 0

Замена:

\dfrac{y}{x} =t

\Rightarrow y=tx

\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t

Получим уравнение:

t^2 -2t +t'x+t= 0

t^2 -t +t'x= 0

t'x= t-t^2

x\cdot\dfrac{dt}{dx} = t-t^2

\dfrac{dt}{ t-t^2} =\dfrac{dx}{x}

\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}

Чтобы найти интеграл, стоящий в левой части, подынтегральную дробь представим в виде суммы составляющих:

\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{A}{t} +\dfrac{B}{1-t} =\dfrac{A(1-t)+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{A-At+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{(B-A)T+A}{t(1-t)}

Дроби равны, знаменатели равны. Значит, равны и числители:

1=(B-A)t+A

Условие равенства:

\begin{cases} A=1 \\ B-A=0 \end{cases}

\begin{cases} A=1 \\ B=A=1 \end{cases}

Значит, дробь раскладывается на составляющие следующим образом:

\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{1}{t} +\dfrac{1}{1-t}

Возвращаемся к интегрированию:

\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}

\int\dfrac{dt}{ t}+\int\dfrac{dt}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}

Для второй дроби выполним подведение под знак дифференциала:

\int\dfrac{dt}{ t}-\int\dfrac{d(1-t)}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}

Интегрируем:

\ln|t|-\ln|1-t|=\ln|x|-\ln|C|

\ln\left|\dfrac{t}{1-t}\right|=\ln\left|\dfrac{x}{C}\right|

\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{x}{C}

Обратная замена:

\dfrac{\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x} }=\dfrac{x}{C}

\dfrac{y }{x-y }=\dfrac{x}{C}

\dfrac{x-y }{y }=\dfrac{C}{x}

\dfrac{x }{y }-1=\dfrac{C}{x}

\dfrac{x }{y }=1+\dfrac{C}{x}

\dfrac{x }{y }=\dfrac{x+C}{x}

\boxed{y=\dfrac{x^2}{x+C}}

4,5(11 оценок)
Открыть все ответы
Ответ:
LoKotRon2017
LoKotRon2017
26.09.2021

А 16 км В

> х км/ч                                ?                           (х + 9) км/ч <

1,5 ч = 90 мин = 90/60 = 3/2 ч

20 мин = 20/60 = 1/3 ч

Уравнение:

х · (3/2 + 1/3) + (х + 9) · 1/3 = 16

3/2х + 1/3х + 1/3х + 9/3 = 16

9/6х + 2/6х + 2/6х + 3 = 16

13/6х = 16 - 3

13/6х = 13

х = 13 : 13/6

х = 13/1 · 6/13

х = 6 (км/ч) - скорость пешехода

6 + 9 = 15 (км/ч) - скорость велосипедиста

ответ: 6 км/ч и 15 км/ч.

Проверка:

6 · (3/2 + 1/3) = 6 · 11/6 = 66/6 = 11 км - пройдёт пешеход за 1 ч 50 мин

15 · 1/3 = 15/3 = 5 км - проедет велосипедист за 20 мин

11 + 5 = 16 км - расстояние между пунктами

4,4(45 оценок)
Ответ:

Село - - - - - - - - - - - - - - - - - 95 км - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Город

> х км/ч                              ?                              (х + 15) км/ч <

40 мин = 40/60 = 2/3 ч

1,5 ч = 90/60 = 3/2 ч

Уравнение:

х · (3/2 + 2/3) + (х + 15) · 2/3 = 95

3/2х + 2/3х + 2/3х + 30/3 = 95

9/6х + 4/6х + 4/6х + 10 = 95

17/6х = 95 - 10

17/6х = 85

х = 85 : 17/6

х = 85 · 6/17 = 5 · 6

х = 30 (км/ч) - скорость мотоцикла

30 + 15 = 45 (км/ч) - скорость автомобиля

ответ: 30 км/ч и 45 км/ч.

Проверка:

30 · (3/2 + 2/3) = 30 · 13/6 = 65 км проедет мотоцикл на 2 ч 10 мин

45 · 2/3 = 30 км - проедет автомобиль за 40 мин

65 + 30 = 95 км - расстояние от села до города

4,4(43 оценок)
Это интересно:
Новые ответы от MOGZ: Алгебра
logo
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси Mozg
Открыть лучший ответ