Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной фукциями y = 2sin(x) и y = -sin(x) на отрезке от 0 до π.
1. Начнем с построения графиков данных функций на данном отрезке:
Функция y = 2sin(x) будет представлять собой график синусоиды, умноженной на 2. Это значит, что амплитуда синусоиды увеличивается в 2 раза. График будет проходить через точку (0,0), и его период будет равен 2π. На отрезке от 0 до π, график будет выглядеть следующим образом:
- y = 2sin(x)
2. Теперь построим график функции y = -sin(x). Он будет представлять собой стандартный график синусоиды, проходящий через точку (0,0) и имеющий период 2π. На отрезке от 0 до π, график будет выглядеть следующим образом:
- y = -sin(x)
3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нам необходимо найти точки их пересечения.
4. Рассмотрим сначала точку пересечения графиков у = 2sin(x) и у = -sin(x).
Поставим уравнения этих функций в равенство друг другу и найдем значения переменной x:
2sin(x) = -sin(x)
Разделим обе части уравнения на sin(x):
2 = -1
Такое уравнение не имеет решений, поэтому графики не пересекаются.
5. Теперь рассмотрим точки пересечения графиков y = 2sin(x) и y = 0.
Поместим в уравнение функции y = 2sin(x) значение y = 0 и найдем значения переменной x:
0 = 2sin(x)
Такое уравнение имеет два решения: x = 0 и x = π.
6. Таким образом, фигура ограничена вертикальными прямыми x = 0 и x = π, графиком y = 2sin(x) и осью OX.
7. Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем разделить ее на две части: прямоугольник и сегмент синусоиды.
Первая часть - это прямоугольник, ограниченный вертикальными прямыми x = 0 и x = π и осью OX. Его площадь равна:
S1 = (π - 0) * 0 = 0
Вторая часть - это сегмент синусоиды, ограниченный графиком функции y = 2sin(x) и осью OX на интервале от 0 до π. Чтобы найти площадь этой части, мы можем использовать интеграл:
S2 = ∫[0,π] 2sin(x) dx
Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать знания о производных и интегралах функций.
Заметим, что производной функции sin(x) является cos(x), и производной функции 2sin(x) является 2cos(x).
Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной фукциями y = 2sin(x) и y = -sin(x) на отрезке от 0 до π.
1. Начнем с построения графиков данных функций на данном отрезке:
Функция y = 2sin(x) будет представлять собой график синусоиды, умноженной на 2. Это значит, что амплитуда синусоиды увеличивается в 2 раза. График будет проходить через точку (0,0), и его период будет равен 2π. На отрезке от 0 до π, график будет выглядеть следующим образом:
- y = 2sin(x)
2. Теперь построим график функции y = -sin(x). Он будет представлять собой стандартный график синусоиды, проходящий через точку (0,0) и имеющий период 2π. На отрезке от 0 до π, график будет выглядеть следующим образом:
- y = -sin(x)
3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нам необходимо найти точки их пересечения.
4. Рассмотрим сначала точку пересечения графиков у = 2sin(x) и у = -sin(x).
Поставим уравнения этих функций в равенство друг другу и найдем значения переменной x:
2sin(x) = -sin(x)
Разделим обе части уравнения на sin(x):
2 = -1
Такое уравнение не имеет решений, поэтому графики не пересекаются.
5. Теперь рассмотрим точки пересечения графиков y = 2sin(x) и y = 0.
Поместим в уравнение функции y = 2sin(x) значение y = 0 и найдем значения переменной x:
0 = 2sin(x)
Такое уравнение имеет два решения: x = 0 и x = π.
6. Таким образом, фигура ограничена вертикальными прямыми x = 0 и x = π, графиком y = 2sin(x) и осью OX.
7. Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем разделить ее на две части: прямоугольник и сегмент синусоиды.
Первая часть - это прямоугольник, ограниченный вертикальными прямыми x = 0 и x = π и осью OX. Его площадь равна:
S1 = (π - 0) * 0 = 0
Вторая часть - это сегмент синусоиды, ограниченный графиком функции y = 2sin(x) и осью OX на интервале от 0 до π. Чтобы найти площадь этой части, мы можем использовать интеграл:
S2 = ∫[0,π] 2sin(x) dx
Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать знания о производных и интегралах функций.
Заметим, что производной функции sin(x) является cos(x), и производной функции 2sin(x) является 2cos(x).
Интеграл функции 2sin(x) равен -2cos(x).
Теперь мы можем вычислить значение интеграла:
S2 = -2cos(x) | [0,π] = -2cos(π) - (-2cos(0)) = -2(-1) - (-2(1)) = 2 - (-2) = 4
Таким образом, площадь второй части равна 4.
8. Итак, общая площадь фигуры ограниченной линиями y = 2sin(x), y = -sin(x), и 0 < x < π равна сумме площадей двух частей:
S = S1 + S2 = 0 + 4 = 4
Ответ: площадь фигуры равна 4.