Question

Вычислите : tg2^a, если tga=1/2​

Answer 1

Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать основное тригонометрическое тождество: tg²(a) + 1 = sec²(a).

Исходя из условия задачи, у нас дано, что tg(a) = 1/2. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти sec(a).

Для начала, воспользуемся определением tg(a) = sin(a)/cos(a) и подставим данный нам результат:
1/2 = sin(a)/cos(a).

Умножим обе части уравнения на 2cos(a), чтобы устранить дробь:
2cos(a) * 1/2 = 2cos(a) * sin(a)/cos(a).

Упростим уравнение:
cos(a) = 2sin(a).

Теперь можем использовать тождество tg²(a) + 1 = sec²(a) для нахождения tg²(a):
tg²(a) + 1 = sec²(a).

Подставляем полученное нами равенство cos(a) = 2sin(a):
tg²(a) + 1 = sec²(a)
tg²(a) + 1 = (1/cos²(a))
tg²(a) + 1 = 1/(2sin(a))²
tg²(a) + 1 = 1/(4sin²(a))
tg²(a) = 1/(4sin²(a)) - 1

Теперь нам нужно найти sin(a). Мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество: sin²(a) + cos²(a) = 1.

Поскольку у нас уже имеется значене cos(a) = 2sin(a), мы можем подставить его в тождество:
sin²(a) + (2sin(a))² = 1
sin²(a) + 4sin²(a) = 1
5sin²(a) = 1
sin²(a) = 1/5

Теперь мы можем использовать полученное значение sin(a) = 1/√5 для нахождения tg²(a):
tg²(a) = 1/(4sin²(a)) - 1
tg²(a) = 1/(4 * 1/5) - 1
tg²(a) = 1/(4/5) - 1
tg²(a) = 5/4 - 1
tg²(a) = (5 - 4)/4
tg²(a) = 1/4

Итак, мы получили, что tg²(a) = 1/4. Таким образом, ответ на задачу "Вычислите tg²(a), если tg(a) = 1/2" равен 1/4.