1.Закон движения точки по прямой задаётся формулой s(t)=4t2+t, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найди скорость и ускорение в момент времени t, если: t=1,3 с.
2.Докажи, что у заданной функции ускорение в момент времени t является постоянной величиной. В доказательстве используй определение производной (запиши пропущенные значения):
1. приращение функции:
Δf= ⋅Δt.
2. Предел по определению производной:
Для нахождения скорости, мы берем первую производную от функции s(t):
v(t) = d/dt (s(t)) = d/dt (4t^2 + t)
Для этого мы применяем правила дифференцирования. Первая производная от 4t^2 равна 8t, а первая производная от t равна 1. Таким образом, скорость в момент времени t равна:
v(t) = 8t + 1
Теперь, чтобы найти скорость в момент времени t=1,3 c, мы подставляем значение t в нашу формулу:
v(1.3) = 8 * 1.3 + 1 = 10.4 + 1 = 11.4 м/с
Для нахождения ускорения, мы должны взять первую производную от скорости v(t):
a(t) = d/dt (v(t)) = d/dt (8t + 1)
Опять же, мы применяем правила дифференцирования. Первая производная от 8t равна 8, а первая производная от 1 равна 0, так как это постоянная. Таким образом, ускорение в момент времени t является постоянной величиной и равно:
a(t) = 8 м/с^2
2. Чтобы доказать, что у заданной функции ускорение в момент времени t является постоянной величиной, мы должны показать, что производная от ускорения равна 0.
Используя определение производной, мы имеем:
a'(t) = lim(Δt->0) [a(t + Δt) - a(t)] / Δt
Теперь мы подставляем наше заданное выражение для ускорения a(t) = 8 и выражение для a(t + Δt):
a'(t) = lim(Δt->0) [8 - 8] / Δt = 0/Δt = 0
Таким образом, производная от ускорения равна 0, что означает, что ускорение в момент времени t является постоянной величиной.
Это обосновывает то, что у заданной функции ускорение является постоянной величиной, и для этого мы использовали определение производной и его свойства.