Хорошо, давайте начнем с построения графика функции y = 2x - 3.
1. Построение графика:
Для построения графика линейной функции нам понадобится система координат (декартова плоскость). По оси абсцисс (OX) будем откладывать значения переменной x, а по оси ординат (OY) - значения функции y.
Для начала построим несколько точек, зная что y = 2x - 3:
- Когда х = 0, то y = -3.
- Когда х = 1, то y = 2·1 - 3 = -1.
- Когда х = 2, то y = 2·2 - 3 = 1.
- Когда х = 3, то y = 2·3 - 3 = 3.
- Когда х = 4, то y = 2·4 - 3 = 5.
Теперь, используя эти точки, соединим их графиком прямой линии. Эта линия будет графиком функции y = 2x - 3.
2. Нахождение значений y и х:
а) Значение y, если х = 3:
На графике спроектированная вертикальная прямая, когда она пересекает график, мы можем найти значение y. Нам нужно найти точку, где х = 3 и опустить вертикальную прямую из этой точки до графика. Когда это произойдет, мы можем прочитать значение у на графике.
Таким образом, когда х = 3, значение у = 3.
б) Значение х, если у = -1:
Аналогично, мы можем прочитать значение х на графике, когда у = -1. От проекции горизонтальной прямой из точки у = -1 мы можем найти соответствующее значение х на графике.
По графику видно, что когда у = -1, значение х примерно равно 1.
в) Значения х, при которых значения функции отрицательные:
На графике мы можем видеть, что функция y = 2x - 3 будет отрицательной, когда значения x меньше некоторого значения.
Решим уравнение 2x - 3 < 0:
2x < 3
x < 3/2 = 1.5
Таким образом, значения х, при которых функция y = 2x - 3 отрицательна, это все значения x меньше 1.5.
Для доказательства монотонности функции нужно вычислить производную и проанализировать ее знак на всей числовой прямой.
1. Функция y = x^9 + 4x^3 + 1x - 10
Для доказательства возрастания функции нужно показать, что ее производная положительна на всей числовой прямой.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = 9x^8 + 12x^2 + 1
Теперь решим неравенство y' > 0:
9x^8 + 12x^2 + 1 > 0
Поскольку степени положительны, рассмотрим возможные значения для x:
- Если x > 0, то все слагаемые будут положительными, следовательно, неравенство выполняется.
- Если x = 0, все слагаемые равны нулю, но это не противоречит неравенству.
- Если x < 0, тогда первое и третье слагаемые будут положительными, а второе слагаемое отрицательным, но сумма все равно положительная.
Таким образом, производная положительна на всей числовой прямой, что означает, что функция y возрастает на всей числовой прямой.
2. Функция y = cos(5x) - 7x
Для доказательства убывания функции нужно показать, что ее производная отрицательна на всей числовой прямой.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = -5sin(5x) - 7
Теперь решим неравенство y' < 0:
-5sin(5x) - 7 < 0
Поскольку sin(5x) может принимать значения в интервале [-1, 1], рассмотрим возможные значения для x:
- Если sin(5x) > 0, то неравенство не выполняется.
- Если sin(5x) = 0, то неравенство выполняется при x = 0.
- Если sin(5x) < 0, то неравенство выполняется при любых значениях x.
Таким образом, производная отрицательна на всей числовой прямой, что означает, что функция y убывает на всей числовой прямой.
3. Функция y = 2x^3 + 3x^2 - x + 5
Для исследования монотонности функции на всей числовой прямой, нужно снова вычислить производную и проанализировать ее знак.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = 6x^2 + 6x - 1
Решим уравнение y' = 0:
6x^2 + 6x - 1 = 0
Применим формулу дискриминанта для нахождения корней уравнения:
Теперь проанализируем знак производной на интервалах:
- Если x < -1.8102, то y' > 0. Значит, функция y возрастает на этом интервале.
- Если -1.8102 < x < -0.1898, то y' < 0. Значит, функция y убывает на этом интервале.
- Если x > -0.1898, то y' > 0. Значит, функция y возрастает на этом интервале.
Таким образом, функция y возрастает на интервалах (-∞, -1.8102) и (-0.1898, +∞) и убывает на интервале (-1.8102, -0.1898).
4. Функция y = 3x^(−1/3) - x^(1/3)
Для исследования монотонности функции на всей числовой прямой, нужно снова вычислить производную и проанализировать ее знак.
1. Построение графика:
Для построения графика линейной функции нам понадобится система координат (декартова плоскость). По оси абсцисс (OX) будем откладывать значения переменной x, а по оси ординат (OY) - значения функции y.
Для начала построим несколько точек, зная что y = 2x - 3:
- Когда х = 0, то y = -3.
- Когда х = 1, то y = 2·1 - 3 = -1.
- Когда х = 2, то y = 2·2 - 3 = 1.
- Когда х = 3, то y = 2·3 - 3 = 3.
- Когда х = 4, то y = 2·4 - 3 = 5.
Теперь, используя эти точки, соединим их графиком прямой линии. Эта линия будет графиком функции y = 2x - 3.
2. Нахождение значений y и х:
а) Значение y, если х = 3:
На графике спроектированная вертикальная прямая, когда она пересекает график, мы можем найти значение y. Нам нужно найти точку, где х = 3 и опустить вертикальную прямую из этой точки до графика. Когда это произойдет, мы можем прочитать значение у на графике.
Таким образом, когда х = 3, значение у = 3.
б) Значение х, если у = -1:
Аналогично, мы можем прочитать значение х на графике, когда у = -1. От проекции горизонтальной прямой из точки у = -1 мы можем найти соответствующее значение х на графике.
По графику видно, что когда у = -1, значение х примерно равно 1.
в) Значения х, при которых значения функции отрицательные:
На графике мы можем видеть, что функция y = 2x - 3 будет отрицательной, когда значения x меньше некоторого значения.
Решим уравнение 2x - 3 < 0:
2x < 3
x < 3/2 = 1.5
Таким образом, значения х, при которых функция y = 2x - 3 отрицательна, это все значения x меньше 1.5.
Вот, на этом заканчивается решение вопроса.