f(x)=8x^2-x^4
1) ОДЗ: хЭR;
2) f'(x)=16x-4x^3;
3) f'(x)=0; 16x-4x^3=0
4x(4-x^2)=0
4x=0 или 4-х^2=0
x=0 x^2=4
x= +-2(критические точки)
ответ:1) х=-2 т.минимума
х=2 т. максимума
2) (-бескон; -2) - функция убывает
(-2;2) - ф-ия возрастает
(2;+беск.) - ф-ия убыв.
Задание 1: По свойству интеграла, можем расписать: ∫4x^3dx - ∫2dx + ∫cos2xdx ; ответ: x^4-2x + sin2x/2 + C
∫cos2xdx = {t = 2x; t' = 2}(Подставить дифференциал, использую dx=1/t' *dt) = ∫cost/2dt = 1/2∫costdt = 1/2*sint = sin2x/2(Взяли замену 2х за t и возвращаем назад)
Задание 2: Здесь использую интегрирование по частям: ∫u dv = uv - ∫v du, отсюда замену возьмем {u =4x+5; dv=cos4x dx}; Нужно найти дифференциал du, используя du = u' d, а v вычисляем с и подставить du = 4dx и v = sin4x/4; Получаем: (4x+5)*(sin4x/4)- ∫(sin4x/4)*4dx; ∫sin4x/4dx = {t = 4x; t' =4} = ∫sin4x * 1/4 dt = ∫sint/4 dt (Также, как и впервой задаче с cos);
(4x+5)*(sin4x/4) - 1/4∫sin(t)dt; (4x+5)*(sin4x/4)-1/4*(-cos(t)); Делаем возврат t на 4х; ответ: ((4x+5)*sin(4x)+cos(4x))/4 + C
Задание 3: Делаю замену {t = cosx; t' =-sinx} = -∫t^5 dt (Подставить дифференциал, использую dx=1/t' *dt) = -t^6/6 + C, делаю возврат t = cosx и ответ будет -(cos^6(x)/6) + C
график - парабола, ветви направлены вверх
1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е. D(y) принадлежит от минус бесконечности, до плюс бесконечности
2) Множеством значений функции является промежуток E(y) принадлежит [0; + бесконечность)
3) На промежутке (-бесконечность;0] функция убывающая, а на промежутке [0;+ бесконечность) - возрастающая.
4)наименьшее значение принимает в точке (0;0)
5) корни квадратного уравнения являются нулями квадратичной функции, т.е. х=0
16x-4x^3=4x(4-x^2)
x=0
x=2
x=-2
x<-2 y'>0
-2<x<0 y'<0
0<x<2 y'>0
x>2 y'<0
-2; 2- точки максимума
0- точка минимума
на промежутке х<-2 функция возрастает
на промежутке ]-2;0[ -убывает
на промежутке ]0;2[ функция возрастает
на промежутке x>2 -убывает
y(0)=0
y(-1)=8-1=7
y(3)=72-81=-9
y(2)=32-16=16
минримум на промежутке [-1;3] y(3)=-9
максимум y(2)=16