На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходится иметь дело практически во всех разделах высшей математики.
Сначала немного теории. Что в данном случае обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнения системы все переменные входят в первой степени: без всяких причудливых вещей вроде и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад.
В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы .
Довольно популярный вариант – переменные с индексами: .
Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие:
Не так уж редко можно встретить греческие буквы: – известные многим «альфа, бета, гамма». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»:
Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений. Так, например, в системах линейных уравнений, встречающихся при решении интегралов, дифференциальных уравнений традиционно принято использовать обозначения
Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и решения системы линейных уравнений от этого не меняются. Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное типа , не спешите в страхе закрывать задачник, в конце-концов, вместо можно нарисовать солнце, вместо – птичку, а вместо – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить.
Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким::
Решить систему уравнений
{ x³/y+y² = 36 ;
{ y³/x+x² = 18 .
- - - - - - - - - -
{ x³/y+y²=36 ; { ( x³ + y³) /y =36 ;
{ y³/x+x²=18 . { ( x³ + y³) /x =18.
Разделим 1 -ое уравнение системы на 2 -ое
{ x /y = 2 ; { x =2y ;
{ ( x³ + y³) /x =18. { ( (2y )³ + y³ ) /2y = 18.
( 8y³ + y³ ) /2y =18. ⇔ 9y² / 2 =18 ⇔ y² = 4 ⇒ [ y₁ = -2 ; y₂ =2 .
x₁ =2y₁ =2*(-2) = - 4
x₂ =2y₂ =2*2 = 4
ответ: (- 4; - 2) , ( 4 ; 2 ) .