Question

Назовём натуральное число загадочным, если оно равно как сумме трёх подряд идущих натуральных чисел, так и сумме четырёх подряд идущих натуральных чисел. Сколько четырёхзначных чисел являются загадочными?

Answer 1

Четырёхзначных загадочных чисел всего $4500$.

Объяснение:

Сколько чисел от 1000 до 9999 представимо в виде $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$ или $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$ где $n \in \mathbb{Z}$?

Кратных трём чисел в этом промежутке $\frac{9999}{3} - \frac{1002}{3} + 1 = 3000$. (поделим разность первого и последнего подходящего числа, на делитель)

Чисел, оставляющих остаток 2 при делении на 4: $\frac{9998}{4} - \frac{1002}{4} + 1 = 2250$.

Теперь необходимо понять, количество чисел, выполняющих оба условия. Такие числа должны представляться в виде $12n + 6$. Получается, их $\frac{9990}{12} - \frac{1002}{12} + 1 = 750$.

Итого, $3000 + 2250 - 750 = 4500.$