Question

(1-x)(y'+y)=e^(-x) общее и частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

$(1-x)(y'+y)=e^{-x}$

$y'+y=\dfrac{e^{-x}}{1-x}$

Решение ищем в виде произведение двух ненулевых функций:

$y=uv$

$y'=u'v+v'u$

Подставляем в уравнение:

$u'v+v'u+uv=\dfrac{e^{-x}}{1-x}$

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

$u'v+uv=0$

$u'+u=0$

$u'=-u$

$\dfrac{du}{dx} =-u$

$\dfrac{du}{u} =-dx$

$\int\dfrac{du}{u} =-\int dx$

$\ln|u| =-x$

$u=e^{-x}$

Тогда, второе слагаемое в левой части равно правой части:

$v'u=\dfrac{e^{-x}}{1-x}$

$v'\cdot e^{-x}=\dfrac{e^{-x}}{1-x}$

$v'=\dfrac{1}{1-x}$

$\dfrac{dv}{dx} =\dfrac{1}{1-x}$

$dv=\dfrac{dx}{1-x}$

$dv=-\dfrac{d(1-x)}{1-x}$

$\int dv=-\int \dfrac{d(1-x)}{1-x}$

$v=-\ln|1-x|+\ln C$

$v=\ln\dfrac{C}{1-x}$

Общее решение:

$y=uv=e^{-x}\ln\dfrac{C}{1-x}$

Частное решение. Пусть $C=1$:

$y_c=e^{-x}\ln\dfrac{1}{1-x}=-e^{-x}\ln(1-x)$