Question

Число решений уравнения tgx=cosx на промежутке [-pi;pi] равно
а)4
б)3
в)2
г) 1
д)0
С ОБЪЯСНЕНИЕМ ​​

Answer 1

Для начала, давай разберемся, что означает уравнение tgx=cosx.

tgx означает тангенс угла x, а cosx означает косинус угла x. Углы в данном уравнении измеряются в радианах.

Задача состоит в определении количества решений этого уравнения на промежутке [-pi;pi].

Для начала, давай выразим тангенс через синус и косинус:

tgx = sinx / cosx

Теперь подставим это выражение в условие уравнения:

sinx / cosx = cosx

Умножим обе части уравнения на cosx, чтобы избавиться от знаменателя:

sinx = cos^2x

Перепишем это уравнение в другом виде:

sinx - cos^2x = 0

Теперь давай решим это уравнение.

sinx - cos^2x = 0

Перепишем sinx как 1 - cos^2x:

1 - cos^2x - cos^2x = 0

Сократим выражение:

1 - 2cos^2x = 0

Теперь решим это уравнение для cosx.

2cos^2x - 1 = 0

Давай найдем значения cosx, для которых это уравнение равно нулю.

2cos^2x - 1 = 0

Вынесем общий множитель:

(√2cosx - 1)(√2cosx + 1) = 0

Теперь рассмотрим два случая для решения этого уравнения.

1) √2cosx - 1 = 0

Добавим 1 к обоим сторонам уравнения:

√2cosx = 1

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

2cosx = 1

Разделим обе стороны на 2:

cosx = 1/2

Находим значение угла x, для которого cosx = 1/2. Изучив таблицу значений косинуса, мы видим, что это значение возникает при x = π/3 и x = 5π/3.

2) √2cosx + 1 = 0

Вычтем 1 из обоих сторон уравнения:

√2cosx = -1

Это уравнение не имеет решений, так как нельзя извлечь корень из отрицательного числа.

Итак, мы получили два значения угла x, при которых cosx = 1/2: x = π/3 и x = 5π/3.

Значит, уравнение tgx = cosx имеет два решения на промежутке [-π; π].

Ответ: в) 2.