Разложим знаменатель на множители:
Сумма коэффициентов равна нулю, значит корни уравнения 1 и -1/3.
Интеграл примет вид:
Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на составляющие:
Дроби равны, знаменатели равны, значит равны и числители:
Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях. Составим систему:
Выразим из второго уравнения А:
Подставляем в первое и находим В:
Находим А:
Сумма принимает вид:
Значит, интеграл примет вид:
Для второго слагаемого выполним приведение под знак дифференциала:
Интегрируем:
Упрощаем:
Применим свойство логарифмов:
Стороны треугольников равны а, а его высота равна радиусу r.
r = a*√3/2
a = 2r/√3 = 2r*√3/3
Площадь одного треугольника
S(тр) = a^2*√3/4 = 4r^2*3/9*√3/4 = r^2*√3/3
Площадь всего 6-угольника
S(ш) = 6*S(тр) = 6*r^2*√3/3 = 2r^2*√3