Question

Найти стационарные точки функций :

y=(2+x^2)/x
y=(x^2 +3)/2x

Answer 1

Чтобы найти стационарные точки функций, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю.

Давайте начнем с первой функции y = (2+x^2)/x.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x. Для этого применим правило дифференцирования частного функций:
(y = u/v, u' - производная u, v' - производная v)
y' = (u'v - uv')/v^2

Применяя это правило к функции y = (2+x^2)/x, получим:
y' = (0*v - (2+x^2))/x^2 = (-2-x^2)/x^2

Шаг 2: Приравняем полученную производную к нулю и решим полученное уравнение:
(-2-x^2)/x^2 = 0

Для того чтобы решить это уравнение, возьмем числитель (-2-x^2) и заменим его на 0:
-2-x^2 = 0

Теперь решим это уравнение:
x^2 = -2
x = sqrt(-2) (отрицательный корень)

Заметим, что -2 не является полным квадратом, поэтому у уравнения нет решений.

Таким образом, первая функция y = (2+x^2)/x не имеет стационарных точек.

Перейдем ко второй функции y = (x^2 +3)/2x.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x. Применим правило дифференцирования частного функций:
y' = (u'v - uv')/v^2

В данном случае функция y = (x^2 +3)/2x можно представить в виде:
y = u/v, где u = (x^2 +3) и v = 2x

Найдем производные от u и v:
u' = 2x
v' = 2

Применим правило дифференцирования частного:
y' = [(2x)(2x) - (x^2 +3)(2)]/(2x)^2

Раскроем скобки:
y' = (4x^2 - 2x^2 - 6)/4x^2

Упростим выражение:
y' = (2x^2 - 6)/4x^2 = (x^2 - 3)/2x^2

Шаг 2: Приравняем полученную производную к нулю и решим полученное уравнение:
(x^2 - 3)/2x^2 = 0

Перемножим обе части уравнения на 2x^2, чтобы избавиться от знаменателя:
x^2 - 3 = 0

Теперь решим это уравнение:
x^2 = 3
x = sqrt(3) или x = -sqrt(3)

Таким образом, вторая функция y = (x^2 +3)/2x имеет две стационарные точки: x = sqrt(3) и x = -sqrt(3).

Это решение дает подробное описание процесса нахождения стационарных точек для обеих функций и объясняет каждый шаг решения.