Question

Реши тригонометрическое уравнение 5sin2x=6−7sinx .
Корнями уравнения являются:
π−arcsin(−2)+2πn
x=arcsin0,6+2πn
x=π−arcsin0,6+2πn
нет корней
arcsin(−2)+2πn

Answer 1

Хорошо, давай разберемся с этим уравнением пошагово.

Итак, дано требуемое уравнение: 5sin(2x) = 6 - 7sin(x)

1. Сначала проведем некоторые преобразования, чтобы упростить уравнение. Пользуясь тригонометрическими тождествами, заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x):

5 * 2sin(x)cos(x) = 6 - 7sin(x)

10sin(x)cos(x) = 6 - 7sin(x)

2. Теперь мы можем выразить sin(x) через cos(x). Для этого поделим обе части уравнения на cos(x):

10sin(x) = (6 - 7sin(x)) / cos(x)

10sin(x) = 6/cos(x) - 7sin(x)/cos(x)

10sin(x) = 6/cos(x) - 7tan(x)

3. Теперь введем новую переменную, например, t = tan(x). Заменим sin(x) на t и cos(x) на 1/t в уравнении:

10t = 6 * t - 7t

10t = 6t - 7t

3t = 0

t = 0

4. Мы получили t = 0, теперь найдем значения sin(x) и cos(x) из значения t = tan(x). Подставим t = 0 в уравнение:

t = sin(x)/cos(x)

0 = sin(x)/cos(x)

sin(x) = 0, cos(x) ≠ 0

Это означает, что sin(x) равно 0, а cos(x) не равно 0.

5. Теперь найдем все значения x, удовлетворяющие уравнению sin(x) = 0. Углы, у которых sin(x) = 0, это углы, кратные pi:

x = 0 + pi*n, где n - целое число

6. Теперь найдем значения x, удовлетворяющие уравнению cos(x) ≠ 0:

Поскольку углы, у которых cos(x) ≠ 0, находятся внутри интервалов (-pi/2 + 2*pi*n, pi/2 + 2*pi*n), то x = arcsin(0.6) + 2*pi*n, где n - целое число.

7. Объединим оба набора ответов, полученных на шагах 5 и 6:

x = 0 + pi*n, где n - целое число
x = arcsin(0.6) + 2*pi*n, где n - целое число

Таким образом, корнями уравнения являются:
x = 0 + pi*n, где n - целое число,
x = arcsin(0.6) + 2*pi*n, где n - целое число.