√(1 + sin 2x) = √(sin^2 x + cos^2 x + 2sin x*cos x) = = √(sin x + cos x)^2 = |sin x + cos x| Далее sin x + cos x = √2*(1/√2*cos x + 1/√2*sin x) = = √2*(cos Π/4*cos x + sin Π/4*sin x) = √2*cos(x-Π/4) Подставляем √2*|cos(x+Π/4)| - √2*cos 3x = 0 Делим на √2 |cos(x+Π/4)| - cos 3x = 0
1) Если cos(x-Π/4) < 0, то -cos(x-Π/4) - cos 3x = 0 Сумма косинусов -2cos((x-Π/4+3x)/2)*cos((x-Π/4-3x)/2) = 0 -2cos(2x-Π/8)*cos(-x-Π/8) = 0 A) cos(2x-Π/8) = 0 2x-Π/8 = Π/2+Π*n; x = 5Π/16+Π/2*n Но cos(x-Π/4) = cos(Π/16+Π/2*n) < 0 n=1 и n=2 подходят, n=0 и n=3 не подходят x1 = 5Π/16+Π/2*(4k+1) x2 = 5Π/16+Π/2*(4k+2) B) cos(-x-Π/8) = cos(x+Π/8) = 0 x+Π/8 = Π/2+Π*n; x = 3Π/8+Π*n Но cos(x-Π/4) = cos(Π/8+Π*n) < 0 Подходят только нечётные n. x3 = 3Π/8+Π*(2k+1)
2) Если cos(x-Π/4) = 0, то выполняется система: { cos(x-Π/4) = 0 { cos 3x = 0 Получаем { x-Π/4 = Π/2+Π*n; x = 3Π/4+Π*n { 3x = Π/2+Π*n; x = Π/6+Π/3*m Переменные n и m независимы. Но ни при каких n и m эти корни не совпадают. Поэтому здесь корней нет.
3) Если cos(x-Π/4) > 0, то cos(x-Π/4) - cos 3x = 0 Разность косинусов -2*sin((x-Π/4-3x)/2)*sin((x+Π/4+3x)/2) = 0 -2*sin(-x-Π/8)*sin(2x+Π/8) = 0 A) sin(-x-Π/8) = -sin(x+Π/8) = 0 x +Π/8 = Π*n; x = -Π/8+Π*n Но cos(x-Π/4) = cos(-3Π/8+Π*n) > 0 Подходят только четные n x4 = -Π/8 + Π*2k B) sin(2x+Π/8) = 0 2x+Π/8 = Π*n 2x = -Π/8 + Π*n; x = -Π/16+Π/2*n Но cos(x-Π/4) = cos(-5Π/16+Π/2*n) > 0 n=0 и n=1 подходят, n=2 и n=3 не подходят. x5 = -5Π/16 + Π/2*4k x6 = -5Π/16 + Π/2*(4k+1)
«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k + 1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.
= √(sin x + cos x)^2 = |sin x + cos x|
Далее
sin x + cos x = √2*(1/√2*cos x + 1/√2*sin x) =
= √2*(cos Π/4*cos x + sin Π/4*sin x) = √2*cos(x-Π/4)
Подставляем
√2*|cos(x+Π/4)| - √2*cos 3x = 0
Делим на √2
|cos(x+Π/4)| - cos 3x = 0
1) Если cos(x-Π/4) < 0, то
-cos(x-Π/4) - cos 3x = 0
Сумма косинусов
-2cos((x-Π/4+3x)/2)*cos((x-Π/4-3x)/2) = 0
-2cos(2x-Π/8)*cos(-x-Π/8) = 0
A) cos(2x-Π/8) = 0
2x-Π/8 = Π/2+Π*n; x = 5Π/16+Π/2*n
Но cos(x-Π/4) = cos(Π/16+Π/2*n) < 0
n=1 и n=2 подходят, n=0 и n=3 не подходят
x1 = 5Π/16+Π/2*(4k+1)
x2 = 5Π/16+Π/2*(4k+2)
B) cos(-x-Π/8) = cos(x+Π/8) = 0
x+Π/8 = Π/2+Π*n; x = 3Π/8+Π*n
Но cos(x-Π/4) = cos(Π/8+Π*n) < 0
Подходят только нечётные n.
x3 = 3Π/8+Π*(2k+1)
2) Если cos(x-Π/4) = 0, то выполняется система:
{ cos(x-Π/4) = 0
{ cos 3x = 0
Получаем
{ x-Π/4 = Π/2+Π*n; x = 3Π/4+Π*n
{ 3x = Π/2+Π*n; x = Π/6+Π/3*m
Переменные n и m независимы. Но ни при каких n и m эти корни не совпадают. Поэтому здесь корней нет.
3) Если cos(x-Π/4) > 0, то
cos(x-Π/4) - cos 3x = 0
Разность косинусов
-2*sin((x-Π/4-3x)/2)*sin((x+Π/4+3x)/2) = 0
-2*sin(-x-Π/8)*sin(2x+Π/8) = 0
A) sin(-x-Π/8) = -sin(x+Π/8) = 0
x +Π/8 = Π*n; x = -Π/8+Π*n
Но cos(x-Π/4) = cos(-3Π/8+Π*n) > 0
Подходят только четные n
x4 = -Π/8 + Π*2k
B) sin(2x+Π/8) = 0
2x+Π/8 = Π*n
2x = -Π/8 + Π*n; x = -Π/16+Π/2*n
Но cos(x-Π/4) = cos(-5Π/16+Π/2*n) > 0
n=0 и n=1 подходят, n=2 и n=3 не подходят.
x5 = -5Π/16 + Π/2*4k
x6 = -5Π/16 + Π/2*(4k+1)
ответ: x1; x2; x3; x4; x5; x6 отмечены жирным.