Для нахождения промежутков монотонности функций, нам нужно первоначально определить производную функции и найти ее корни. Первая производная позволяет нам определить, является ли функция возрастающей или убывающей на определенном промежутке.
Поэтому, прежде чем мы начнем, давайте найдем производные для каждой из функций.
1. Функция: у = 2х³ + 3х² - 100
Первая производная: y' = 6х² + 6х
Для нахождения корней производной, приравняем ее к нулю:
6х² + 6х = 0
Факторизуем это уравнение:
6х(х + 1) = 0
Отсюда получаем два корня: х₁ = 0 и х₂ = -1.
Теперь давайте построим таблицу, где перечислим значения функции и значения производной в интервалах между и после корней:
Анализируя таблицу, мы видим, что функция убывает на интервале (-∞, -1), затем возрастает на интервале (-1, 0), и снова возрастает на интервале (0, +∞).
Таблица промежутков монотонности:
| Интервал | Знак y' | Знак y |
| (-∞, 1/4) | - | - |
| (1/4, +∞) | + | + |
Мы видим, что функция убывает на интервале (-∞, 1/4) и возрастает на интервале (1/4, +∞).
Таким образом, мы можем определить промежутки монотонности для каждой функции:
1. Функция у = 2х³ + 3х² - 100 возрастает на интервалах (-1, 0) и (0, +∞), и убывает на интервале (-∞, -1).
2. Функция у = х³ + 2х² + 6 возрастает на интервалах (-4/3, 0) и (0, +∞), и убывает на интервале (-∞, -4/3).
3. Функция у = 5х² + 15х - 1 возрастает на интервале (-3/2, +∞), и убывает на интервале (-∞, -3/2).
4. Функция у = 60 + 45х - 3х² - х³ возрастает на интервале (-5/3, 3) и убывает на интервалах (-∞, -5/3) и (3, +∞).
5. Функция у = -3х + 6х² - 100 возрастает на интервале (1/4, +∞), и убывает на интервале (-∞, 1/4).
Надеюсь, это помогло понять промежутки монотонности каждой функции!
Поэтому, прежде чем мы начнем, давайте найдем производные для каждой из функций.
1. Функция: у = 2х³ + 3х² - 100
Первая производная: y' = 6х² + 6х
Для нахождения корней производной, приравняем ее к нулю:
6х² + 6х = 0
Факторизуем это уравнение:
6х(х + 1) = 0
Отсюда получаем два корня: х₁ = 0 и х₂ = -1.
Теперь давайте построим таблицу, где перечислим значения функции и значения производной в интервалах между и после корней:
| Интервал | Знак y' | Знак y |
| (-∞, -1) | - | - |
| (-1, 0) | + | - |
| (0, +∞) | + | + |
Анализируя таблицу, мы видим, что функция убывает на интервале (-∞, -1), затем возрастает на интервале (-1, 0), и снова возрастает на интервале (0, +∞).
2. Функция: у = х³ + 2х² + 6
Первая производная: y' = 3х² + 4х
Решим уравнение y' = 0:
3х² + 4х = 0
Факторизуем:
x(3х + 4) = 0
Отсюда получаем два корня: х₁ = 0 и х₂ = -4/3.
Таблица промежутков монотонности:
| Интервал | Знак y' | Знак y |
| (-∞, -4/3) | - | - |
| (-4/3, 0) | + | + |
| (0, +∞) | + | + |
Мы видим, что функция убывает на интервале (-∞, -4/3), затем возрастает на интервале (-4/3, 0), и снова возрастает на интервале (0, +∞).
3. Функция: у = 5х² + 15х - 1
Первая производная: y' = 10х + 15
Решим уравнение y' = 0:
10х + 15 = 0
10х = -15
х = -15/10
х = -3/2
Таблица промежутков монотонности:
| Интервал | Знак y' | Знак y |
| (-∞, -3/2) | - | - |
| (-3/2, +∞) | + | + |
Мы видим, что функция убывает на интервале (-∞, -3/2) и возрастает на интервале (-3/2, +∞).
4. Функция: у = 60 + 45х - 3х² - х³
Первая производная: y' = 45 - 6х - 3х²
Решим уравнение y' = 0:
45 - 6х - 3х² = 0
Факторизуем:
(3х + 5)(х - 3) = 0
Отсюда получаем два корня: х₁ = -5/3 и х₂ = 3.
Таблица промежутков монотонности:
| Интервал | Знак y' | Знак y |
| (-∞, -5/3) | - | - |
| (-5/3, 3) | + | + |
| (3, +∞) | - | - |
Мы видим, что функция убывает на интервале (-∞, -5/3), возрастает на интервале (-5/3, 3), а затем снова убывает на интервале (3, +∞).
5. Функция: у = -3х + 6х² - 100
Первая производная: y' = -3 + 12х
Решим уравнение y' = 0:
-3 + 12х = 0
12х = 3
х = 1/4
Таблица промежутков монотонности:
| Интервал | Знак y' | Знак y |
| (-∞, 1/4) | - | - |
| (1/4, +∞) | + | + |
Мы видим, что функция убывает на интервале (-∞, 1/4) и возрастает на интервале (1/4, +∞).
Таким образом, мы можем определить промежутки монотонности для каждой функции:
1. Функция у = 2х³ + 3х² - 100 возрастает на интервалах (-1, 0) и (0, +∞), и убывает на интервале (-∞, -1).
2. Функция у = х³ + 2х² + 6 возрастает на интервалах (-4/3, 0) и (0, +∞), и убывает на интервале (-∞, -4/3).
3. Функция у = 5х² + 15х - 1 возрастает на интервале (-3/2, +∞), и убывает на интервале (-∞, -3/2).
4. Функция у = 60 + 45х - 3х² - х³ возрастает на интервале (-5/3, 3) и убывает на интервалах (-∞, -5/3) и (3, +∞).
5. Функция у = -3х + 6х² - 100 возрастает на интервале (1/4, +∞), и убывает на интервале (-∞, 1/4).
Надеюсь, это помогло понять промежутки монотонности каждой функции!