Дана функция f(x) =8x² - x⁴ Найдите: А) промежутки возрастания и убывания функции ; Б) Точеи максимума и минимума функции ; В) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]
Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, нужно найти точки, где её производная положительна и отрицательна соответственно.
A) Промежутки возрастания и убывания функции:
1. Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 16x - 4x³
2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки:
16x - 4x³ = 0
4x(4 - x²) = 0
Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = ±2.
3. Исследуем знак производной на разных промежутках:
a) Для x < -2:
Подставим x = -3 (любое число меньше -2) в f'(x):
f'(-3) = 16(-3) - 4(-3)³ = -48 - 36 = -84 (отрицательное число)
Таким образом, на промежутке x < -2, функция f(x) убывает.
б) Для -2 < x < 0:
Подставим x = -1 (любое число между -2 и 0) в f'(x):
f'(-1) = 16(-1) - 4(-1)³ = -16 - 4 = -20 (отрицательное число)
Таким образом, на промежутке -2 < x < 0, функция f(x) убывает.
в) Для 0 < x < 2:
Подставим x = 1 (любое число между 0 и 2) в f'(x):
f'(1) = 16(1) - 4(1)³ = 16 - 4 = 12 (положительное число)
Таким образом, на промежутке 0 < x < 2, функция f(x) возрастает.
г) Для x > 2:
Подставим x = 3 (любое число больше 2) в f'(x):
f'(3) = 16(3) - 4(3)³ = 48 - 108 = -60 (отрицательное число)
Таким образом, на промежутке x > 2, функция f(x) убывает.
Таким образом, функция f(x) возрастает на интервале (0, 2) и убывает на интервалах (-∞, -2), (-2, 0) и (2, +∞).
B) Точки максимума и минимума функции:
Чтобы найти точки максимума и минимума функции, нужно применить вторую производную.
1. Найдем вторую производную функции f(x):
f''(x) = 16 - 12x²
2. Найдем значения x, при которых f''(x) = 0:
16 - 12x² = 0
4 - 3x² = 0
3x² = 4
x² = 4/3
x = ±√(4/3) = ±2/√3
Таким образом, получаем две критические точки: x = 2/√3 и x = -2/√3.
3. Определим характер точек:
a) Подставим x = -2/√3 в f''(x):
f''(-2/√3) = 16 - 12(-2/√3)² = 16 - 12(4/3) = 16 - 16 = 0
Таким образом, точка x = -2/√3 является точкой перегиба.
б) Подставим x = 2/√3 в f''(x):
f''(2/√3) = 16 - 12(2/√3)² = 16 - 12(4/3) = 16 - 16 = 0
Таким образом, точка x = 2/√3 также является точкой перегиба.
Таким образом, данная функция не имеет точек максимума и минимума.
C) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1, 3]:
1. Найдем значения функции на границах отрезка:
f(-1) = 8(-1)² - (-1)⁴ = 8 - 1 = 7
f(3) = 8(3)² - (3)⁴ = 72 - 81 = -9
2. Найдем критические точки внутри отрезка:
Из предыдущих рассуждений мы знаем, что критические точки находятся в точках x = -2/√3 и x = 2/√3.
Рассчитаем значения функции в этих точках:
f(-2/√3) = 8(-2/√3)² - (-2/√3)⁴
f(-2/√3) = 8 * 4/3 - 16/9 = 32/3 - 16/9 = (96 - 16)/9 = 80/9
A) Промежутки возрастания и убывания функции:
1. Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 16x - 4x³
2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки:
16x - 4x³ = 0
4x(4 - x²) = 0
Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = ±2.
3. Исследуем знак производной на разных промежутках:
a) Для x < -2:
Подставим x = -3 (любое число меньше -2) в f'(x):
f'(-3) = 16(-3) - 4(-3)³ = -48 - 36 = -84 (отрицательное число)
Таким образом, на промежутке x < -2, функция f(x) убывает.
б) Для -2 < x < 0:
Подставим x = -1 (любое число между -2 и 0) в f'(x):
f'(-1) = 16(-1) - 4(-1)³ = -16 - 4 = -20 (отрицательное число)
Таким образом, на промежутке -2 < x < 0, функция f(x) убывает.
в) Для 0 < x < 2:
Подставим x = 1 (любое число между 0 и 2) в f'(x):
f'(1) = 16(1) - 4(1)³ = 16 - 4 = 12 (положительное число)
Таким образом, на промежутке 0 < x < 2, функция f(x) возрастает.
г) Для x > 2:
Подставим x = 3 (любое число больше 2) в f'(x):
f'(3) = 16(3) - 4(3)³ = 48 - 108 = -60 (отрицательное число)
Таким образом, на промежутке x > 2, функция f(x) убывает.
Таким образом, функция f(x) возрастает на интервале (0, 2) и убывает на интервалах (-∞, -2), (-2, 0) и (2, +∞).
B) Точки максимума и минимума функции:
Чтобы найти точки максимума и минимума функции, нужно применить вторую производную.
1. Найдем вторую производную функции f(x):
f''(x) = 16 - 12x²
2. Найдем значения x, при которых f''(x) = 0:
16 - 12x² = 0
4 - 3x² = 0
3x² = 4
x² = 4/3
x = ±√(4/3) = ±2/√3
Таким образом, получаем две критические точки: x = 2/√3 и x = -2/√3.
3. Определим характер точек:
a) Подставим x = -2/√3 в f''(x):
f''(-2/√3) = 16 - 12(-2/√3)² = 16 - 12(4/3) = 16 - 16 = 0
Таким образом, точка x = -2/√3 является точкой перегиба.
б) Подставим x = 2/√3 в f''(x):
f''(2/√3) = 16 - 12(2/√3)² = 16 - 12(4/3) = 16 - 16 = 0
Таким образом, точка x = 2/√3 также является точкой перегиба.
Таким образом, данная функция не имеет точек максимума и минимума.
C) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1, 3]:
1. Найдем значения функции на границах отрезка:
f(-1) = 8(-1)² - (-1)⁴ = 8 - 1 = 7
f(3) = 8(3)² - (3)⁴ = 72 - 81 = -9
2. Найдем критические точки внутри отрезка:
Из предыдущих рассуждений мы знаем, что критические точки находятся в точках x = -2/√3 и x = 2/√3.
Рассчитаем значения функции в этих точках:
f(-2/√3) = 8(-2/√3)² - (-2/√3)⁴
f(-2/√3) = 8 * 4/3 - 16/9 = 32/3 - 16/9 = (96 - 16)/9 = 80/9
f(2/√3) = 8(2/√3)² - (2/√3)⁴
f(2/√3) = 8 * 4/3 - 16/9 = 32/3 - 16/9 = (96 - 16)/9 = 80/9
3. Сравниваем полученные значения функции:
7 < 80/9 < -9
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1, 3] равно 80/9, а наименьшее значение -9.
Все ответы подробно обоснованы и решены пошагово для лучшего понимания.