Question

1) из класса, в котором 14 юношей и 6 девушек, выбирают 8 учащихся. какова вероятность того, что среди них: а) ровно 5 девушек; б) менее чем 5 девушек; в) не более чем трое юношей?

Answer 1

Добро пожаловать в мой урок, где мы будем решать задачу вероятности!

Давайте начнем с того, чтобы определить общее количество возможных комбинаций выбрать 8 учащихся из класса, в котором 14 юношей и 6 девушек.

Для этого нам понадобится использовать формулу сочетаний. Формула сочетаний гласит, что количество комбинаций из n элементов, выбранных k раз, равно:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Где n! обозначает факториал числа n, т.е. произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

В нашем случае, у нас есть 14 юношей и 6 девушек в классе, поэтому n = 20 (14+6). Мы хотим выбрать 8 учащихся, поэтому k = 8.

Используя формулу сочетаний, мы можем рассчитать количество общих комбинаций:

C(20, 8) = 20! / (8! * (20-8)!)
= 20! / (8! * 12!)

Теперь, давайте решим задачу частями:

a) Ровно 5 девушек.
Количество способов выбрать 5 девушек из 6 равно C(6, 5) = 6.
Количество способов выбрать 3 юношей из 14 равно C(14, 3) = 364.
Теперь нам нужно учесть комбинации из оставшихся учащихся. У нас осталось 2 юноши и 1 девушка.
Количество способов выбрать 2 юношей из 2 равно C(2, 2) = 1.
Количество способов выбрать 1 девушку из 1 равно C(1, 1) = 1.
Итак, число комбинаций с 5 девушками и 3 юношами равно 6 * 364 * 1 * 1 = 2184.

Теперь мы можем рассчитать вероятность с помощью формулы вероятности:

P(ровно 5 девушек) = количество комбинаций с 5 девушками и 3 юношами / общее количество комбинаций
= 2184 / C(20, 8)

b) Менее чем 5 девушек.
Для этой части мы можем рассмотреть два случая: ни одной девушки или 1, 2, 3 или 4 девушки.

Количество комбинаций без девушек равно C(14, 8) (8 выбраны из 14 юношей).
Количество комбинаций с одной девушкой равно C(6, 1) * C(14, 7) (1 выбирается из 6 девушек и 7 выбраны из 14 юношей).
Количество комбинаций с двумя девушками равно C(6, 2) * C(14, 6) (2 выбираются из 6 девушек и 6 выбраны из 14 юношей).
Количество комбинаций с тремя девушками равно C(6, 3) * C(14, 5) (3 выбираются из 6 девушек и 5 выбраны из 14 юношей).
Количество комбинаций с четырьмя девушками равно C(6, 4) * C(14, 4) (4 выбираются из 6 девушек и 4 выбраны из 14 юношей).

Теперь мы можем сложить все комбинации для каждого случая и рассчитать вероятность:

P(менее чем 5 девушек) = (количество комбинаций без девушек + количество комбинаций с одной девушкой + количество комбинаций с двумя девушками +
количество комбинаций с тремя девушками + количество комбинаций с четырьмя девушками) / общее количество комбинаций

c) Не более чем трое юношей.
Аналогичным образом, мы можем рассмотреть случаи с 0, 1, 2 или 3 юношами, используя сочетания.

Количество комбинаций без юношей равно C(6, 8) = 0 (так как нам нужно выбрать больше учащихся, чем у нас имеется).
Количество комбинаций с одним юношей равно C(14, 7) * C(6, 1) (7 выбираются из 14 юношей и 1 выбирается из 6 девушек).
Количество комбинаций с двумя юношами равно C(14, 6) * C(6, 2) (6 выбираются из 14 юношей и 2 выбираются из 6 девушек).
Количество комбинаций с тремя юношами равно C(14, 5) * C(6, 3) (5 выбираются из 14 юношей и 3 выбираются из 6 девушек).

Теперь мы можем сложить все комбинации для каждого случая и рассчитать вероятность:

P(не более чем трое юношей) = (количество комбинаций без юношей + количество комбинаций с одним юношем +
количество комбинаций с двумя юношами + количество комбинаций с тремя юношами) / общее количество комбинаций

Таким образом, мы можем рассчитать все три вероятности по шагам, используя сочетания и формулу вероятности. Надеюсь, это решение понятно и помогает вам понять задачу вероятности!