ответ: 315000
Объяснение:
Предварительно заметим, что сумма S всех натуральных чисел от 1 до M считается по формуле:
S=M2+M2.
Действительно, последовательность натуральных чисел от 1 до M является арифметической прогрессией с начальным членом 1 и разностью 1. По формуле для суммы членов арифметической прогрессии получаем:
S=2⋅1+1⋅(M−1)2⋅M=M2+M2.
1. Заметим, что если число делится на 2 и 3, то, так как эти числа взаимно просты, это число делится на 6.
2. Найдём сумму всех чисел n, не превосходящих 2100, которые делятся на 2⋅3=6. Все такие числа имеют вид:
n=6⋅m, 1≤m≤350.
Имеем:
6+2⋅6+3⋅6+...+350⋅6=6⋅(1+2+3+...+350)=368550.
3. Все числа, не превосходящие 2100, которые делятся на 6, делятся на 2 типа: те, которые делятся на 7, и те, которые на 7 не делятся. Для того чтобы найти сумму тех чисел, которые не превосходят 2100, делятся на 6, но не делятся на 7, надо вычесть из суммы чисел, кратных 6, сумму чисел, кратных 2⋅3⋅7=42.
4. Найдём сумму чисел, не превосходящих 2100 и кратных 42. Такие числа имеют вид:
42⋅m, 1≤m≤50.
Сумма этих чисел равна
42⋅(1+2+...+50)=53550.
5. Таким образом, искомая сумма чисел равна 368550−53550=315000.
ответ: существует ровно 3 числа, удовлетворяющих условию
Объяснение:
Предварительно заметим, что если
n=pv11pv22...pvss — разложение числа n на простые множители, то количество делителей числа n определяется по формуле
d(n)=(v1+1)(v2+1)...(vs+1).
Действительно, любой делитель d числа n имеет вид:
d=pα11pα22...pαss, где 0≤αi≤vi.
Показатель α1 можно выбрать показатель α2 можно выбрать и так далее, показатель αs можно выбрать Таким образом, количество выбрать показатели α1… αs или, что то же самое, выбрать делитель d числа n, которое равно (v1+1)(v2+1)...(vs+1).
1. Пусть n раскладывается на простые следующим образом:
n=3α5βpα11...pαss,
тогда количество делителей n равно
d(n)=(α+1)(β+1)(α1+1)...(αs+1).
2. Разложим исходное число на простые множители:
15=3⋅5.
После умножения n на 15 получим:
15n=3α+15β+1pα11...pαss,
d(15n)=(α+2)(β+2)(α1+1)...(αs+1).
3. Если количество делителей числа 15n увеличилось в 2 раза, то
d(15n)=2d(n) и (α+2)(β+2)(α1+1)...(αs+1)=2(α+1)(β+1)(α1+1)...(αs+1).
Отсюда находим
(α+2)(β+2)=2(α+1)(β+1),
αβ=2.
Таким образом, α=1, β=2 либо α=2, β=1.
Значит, для того чтобы после умножения на 15 количество делителей увеличилось в 2 раза, число должно иметь вид
3152q=75q или 3251p=45p,
где q, p взаимно просты с 15. Отметим, что числа этих видов не пересекаются, так как делятся на разную степень 3.
4. Посчитаем количество чисел указанных видов, не превосходящих 100.
Имеем
75q≤100,
q=1.
Получаем 1 число вида 75q.
Аналогично
45p≤100,
p≤2.
Числа p=1;2 подходят. Получаем 2 варианта чисел вида 45p.