1) 3sinx-√3 cosx=3; Уравнения вида asinx+bcosx=c решаются следующим образом: 1) нужно разделить обе части уравнения на выражение √(a²+b²); a=3, b=-√3; √(3²+(-√3)²)=√(9+3)=√12=2√3; 2) получаем уравнение вида √3/2sinx-1/2cosx=√3/2; (√3/2=cosπ/6, 1/2=sinπ/6); Далее используем формулу сложения (сумму или разность для синуса): sinx*cosπ/6-cosx*sinπ/6=√3/2; sin(x-π/6)=√3/2; x-π/6=(-1)^(k)*arcsin(√3/2)+πk, k∈Z; x-π/6=(-1)^(k)*π/3+πk,k∈Z; x=(-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z. ответ: (-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z.
Во втором уравнении несколько сложней, так как получаются не табличные значения. Для уравнения вида asinx+bcosx=c есть равносильное уравнение sin(x+α)=c/√(a²+b²), где α=arccos a/√(a²+b²), α=arcsin b/√(a²+b²), α=arctg b/a. 2) 4sinx+6cosx=1; a=4, b=6, √(4²+6²)=√(16+36)=√52=2√13; В этом уравнении удобнее взять α=arctg b/a=arctg 6/4=arctg 3/2. Получаем sin(x+arctg 3/2)=√13/26; x=(-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z. ответ: (-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z.
Выделим полный квадрат из выражения
4m²+3mn+2n²=(4m²+3mn+9n²/16)+2n²-9n²/16=(2m+3n/4)²+23n²/16
Квадрат любого числа положителен или равен 0,сумма положительных положительна.Значит знаменатель дроби положителен⇒5/(4m²+3mn+2n²)>0
2
a)5x²+20x+15=5(x²+4x+3)
2x³+9x²+10x+3=x²(2x+1)+4x(2x+1)+3(2x+1)=(2x+1)(x²+4x+3)
(5x²+20x+15)/(2x³+9x²+10x+3)=5(x²+4x+3)/(2x+1)(x²+4x+3)=5/(2x+1)
b)(n^4-9n^3+12n^2+9n-13)/(n^4-10n^3+22n^2-13n) =
=[(n^4+n³)-(10n³-10n²)+(22n²+22n)_(13n+13)]/n(n³-10n²+22n-13)=
=[n³(n+1)-10n(n+1)+22n(n+1)-13(n+1)]/n(n³-10n²+22n-13)=
=(n+1)(n³-10n²+22n-13)/n(n³-10n²+22n-13)=(n+1)/n