Question

Визначте знаменник нескінченої спадної ї прогресії, якщо сума її членів із непарними номерами утричі більша, ніж сума її членів.

Answer 1

b₁; b₁q; b₁q²; b₁q³; b₁q⁴; ...

|q|<1

Скориставшись тим, що сума членів даної г.п. з непарними номерами втричі більша, ніж сума всіх її членів, маємо рівність:

b₁ + b₁q² + b₁q⁴ + ... = 3(b₁ + b₁q + b₁q² + b₁q³ + b₁q⁴ + ...)

b₁(1 + q² + q⁴ + ...) = 3b₁(1 + q + q² + q³ + q⁴ + ...)

Поділимо обидві частини на b₁, отримаємо:

1 + q² + q⁴ + ... = 3(1 + q + q² + q³ + q⁴ + ...);

$\(\frac{1}{1-q^2} = 3\frac{1}{1-q}\)$

$\(\frac{1}{(1-q)(1+q)} = 3\frac{1}{1-q}\)$

Обидві частини рівності домножимо на 1 - q.

$\(\frac{1}{1+q} = 3\)$

1 = 3(1 + q);

1 = 3 + 3q;

3q = -2;

q = -2/3

Відповідь: -2/3.

Answer 2

$b_1;b_1q^2;b_1q^4;...$ - геометрична прогресія з непарними номерами, її сума $S=\dfrac{b_1}{1-q^2}=\dfrac{b_1}{(1-q)(1+q)}$

Сума членів $b_1;b_1q;b_1q^2;...$ : $S_1=\dfrac{b_1}{1-q}$

Підставляючи дані, отримаємо рівняння

$S=3S_1\\ \\ \dfrac{b_1}{(1-q)(1+q)}=\dfrac{3b_1}{1-q}~~~\Longleftrightarrow~~~~ \dfrac{1}{1+q}=3~~~~\Longleftrightarrow~~~~ q=-\dfrac{2}{3}$

Відповідь: -2/3