Question

Решите уравнение cos4x - cosx = 0 и укажите количество корней из промежудка [0; 4пи].

Answer 1

$\cos 4x-\cos x=0\\ 2\cos^22x-1-\cos x=0\\ 2(2\cos x-1)^2-1-\cos x=0\\ 2(4\cos^2x-4\cos x+1)-1-\cos x=0\\ 8\cos^2x-8\cos x+2-1-\cos x=0\\ 8\cos^2x-9\cos x+1=0$

Пусть $\cos x=t~(|t|\leq 1)$, получим квадратное уравнение относительно t:

$8t^2-9t+1=0\\ D=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot 8\cdot1=49\\ t_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{9+7}{2\cdot8} =1 \\ t_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{9-7}{2\cdot8} =\dfrac{1}{8}$

Возвращаемся к обратной замене

$\cos x=1~~\Rightarrow~~~ x=2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \cos x=\frac{1}{8}~~~\Rightarrow~~~ x=\pm \arccos\frac{1}{8}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Отбор корней из промежутка принадлежащих [0;4π]:

1. Для корня $x=2\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Если $n=0$ то $x=0$

Если $n=1$ то $x=2\pi$

Если $n=2$ то $x=4\pi$

2. Для корня $x=\pm \arccos\frac{1}{8}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Если n=0, то $x=\arccos\frac{1}{8}$

Если n=1, то $x=\pm\arccos\frac{1}{8}+2\pi$

Если n=2, то $x=-\arccos\frac{1}{8}+4\pi$