(x^2 - 2x)^2 - (a+2)(x^2 - 2x) + (3a-3) = 0
Замена x^2 - 2x = y
y^2 - (a+2)y + (3a-3) = 0
Если у исходного уравнения 4 корня, то у этого должно быть 2 корня.
При этом у каждого из уравнений x^2 - 2x = y1 и x^2 - 2x = y2 тоже должно быть по 2 корня.
D = (a+2)^2 - 4(3a-3) = a^2 + 4a + 4 - 12a + 12 = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2
При любом а, кроме 4, это уравнение имеет 2 корня.
y1 = (a+2-a+4)/2 = 6/2 = 3
y2 = (a+2+a-4)/2 = (2a-2)/2 = a-1
Обратная замена
1) x^2 - 2x = 3
x^2 - 2x - 3 = 0
(x + 1)(x - 3) = 0
x1 = -1; x2 = 3
2) x^2 - 2x = a-1
x^2 - 2x + 1 - a = 0
D = 4 - 4(1-a) = 4 - 4 + 4a = 4a
x3 = (2 - 2√a)/2 = 1 - √a
x4 = (2 + 2√a)/2 = 1 + √a
При a < 0 корней x3 и x4 вообще нет, то есть всего 2 корня.
При а = 0 будет x3 = x4 = 1, то есть всего 3 корня.
При a > 0, но при a ≠ 4, будет 2 корня x3 и x4.
3) Рассмотрим варианты, когда x3 = x1; x3 = x2; x4 = x1; x4 = x2.
1 - √a = -1; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.
1 - √a = 3; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.
1 + √a = -1; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.
1 + √a = 3; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.
ответ: a ∈ (0; 4) U (4; +oo)
Объяснение:
1.
1) a-(a²+x²)/(a+x)=(a*(a+x)-a²-x²)/(a+x)=(a²+ax-a²-x²)/(a+x)=
=(ax-x²)/(a+x)=a*(a-x)/(a+x).
2) (2a/x)+4a/(a-x)=(2a*(a-x)+4a*x)/(x*(a-x))=(2a²-2ax+4ax)/(x*(a-x))=
=(2a²+2ax)/(x*(a-x))=2a*(a+x)/(x*(a-x)).
3) (x*(a-x)/(a+x))*(2a*(a+x)/(x*(a-x))=x*(a-x)*2a*(a+x)/((a+x)*x*(a-x)=2a.
2.
1) (am²-an²)/(m²+2mn+n²)=a*(m²-n²)/(m+n)²=
=a*(m+n)(n-n)/(m+n)²=a*(m-n)/(m+n).
2)(am²-2amn+an²)/(3m+3n)=a*(m²-2mn+n²)/(3*(m+n))=
=a*(m-n)²/(3*(m+n)).
3) (a*(m-n)/(m+n)):(a*(m-n)²/(3*(m+n)=a*(m-n)*3*(m+n)/((m+n)(a*(m-n)²)=
=3/(m-n).