task/30046661
m/n ; m ∈ ℕ ; n ∈ ℕ ; n = m³ +2 ; (m+1)/n < 1/8 ; (m+3)/(n+2) < 1/4 . m ,n ?
решение ( m+1 ) / n > 1 / 8 ⇔ 8m+8 > n (1) ;
(m+3) / (n+2) < 1 / 4 ⇔ 4m +12 < n+2 ⇔ n > 4m +10 (2) .
Из двух неравенств (1) и (2) заключаем 4m +10 < n < 8m+8, || n = m³+2 || 4m + 10 < m³+2 < 8m+8 ⇔4m + 8 < m³ < 8m+6 из натуральных (m ∈ ℕ ) только m = 3 ; n =m³ +2 =3³ +2=29 .
* * * графически y = 4m +8 , y =m³ , y =8m+6) или лучше отбором * * *
ответ: 3 / 29 .
Доказать неравенство: а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³
Тут штука такая: надо просто помнить, что если a > b, значит, a - b > 0
Эти 2 неравенства друг без друга "жить не могут". если надо доказать 1-е, надо смотреть 2-е и наоборот. Вот, давай посмотрим:
Нам надо доказать ≥.
Значит, будем смотреть разность и она должна быть ≥ 0
а⁴+b⁴ - a³b - ab³ = (а⁴ - а³b) + (b⁴ - ab³)= a³(a - b) -b³(a - b) =
=(a - b)(a³ - b³) = (a - b)(a - b)(a² +ab +b²) = (a - b)²(a² +ab + b²) - а это выражение всегда ≥ 0 ( первая скобка в квадрате, а во второй скобке сумма квадратов двух чисел всегда > их произведения.) , ⇒
⇒ а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³