Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x0).Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x0).Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.Теорема. Если x0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ′(x0) =0.Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема (не имеет производной), называют критическими точками. Точки, в которых производная равна 0, называют стационарными.Геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в экстремальной точке параллельна оси абсцисс (OX), и поэтому ее угловой коэффициент равен 0 ( k = tg α = 0).Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), x0 С (a;b), и f ′(x0) =0. Тогда:1) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то x0 – точка максимума.2) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс» , то x0 – точка минимума. ПРАВИЛО нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [a;b]. 1. Найти призводную функции и приравнять нулю. Найти критические точки.2. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа f(a) и f(b).3. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат [a;b].4. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее. ПРАВИЛО нахождения минимума и максимума функции f(x) на интервале (a;b).1. Найти критические точки f(x) (в которых f ′(x)=0 или f(x) не существует) .2. Нанести их на числовую прямую (только те, которые принадлежат (a,b) ).f ′(x) + – + a x0x1 bf (x) / \ /3. Расставить знаки производной в строке f ′(x) , расставить стрелки в строке f(x).4. x max = x0, x min = x1.5. y max = y(x0), y min = y(x1).
x²y² - 6xy = -5
3x + 3y = 10⇒x+y=3 1/3
x²y² - 6xy +5=0
xy=a
a²-6a+5=0
a1+a2=6 U a1+a2=5
a1=1 Ua2=5
1)xy=1
x+y=10/3⇒x=10/3-y
10/3y-y²=1
y²-10/3y+1=0
3y²-10y+3=0
D=100-36=64
y1=(10-8)/6=1/3⇒x1=10/3-1/3=3
y2=(10+8)/6=3⇒x2=10/3-3=1/3
2)xy=5
3y²-10y+5=0
D=100-60=40
y3=(10-2√10)/6=5/3-√10/3⇒x3=10/3-5/3+√10/3=5/3+√10/3
y4=5/3+√10/3⇒x4=10/3-5/3-√10/3=5/3-√10/3
(3;1/3);(1/3;3);((5+√10)/3;(5-√10)/3);((5-√10)/3;(5+√10/3)
2
x/y+5y/x=-6
2x+7y=6
x/y+5y/x=-6
x/y=a
a+5/a=-6
a²+6a+5=0
a1+a2=-6 U a1*a2=5
a1=-5 U a2=-1
1)x/y=-5
x=-5y
-10y+7y=6
-3y=6
y=-2⇒x=10
2)x/y=-1
x=-y
-2y+7y=6
5y=6
y=1,2⇒x=-1,2
(10;-2);(-1,2;1,2)