ΔАВС , АВ=13 , АС=11 , ВС=20
Наименьший угол в треугольнике лежит против наименьшей стороны,
то есть ∠В - наименьший, сторона АС=11 - наименьшая.
ВМ ⊥ пл. АВС ⇒ ВМ ⊥ любой прямой , лежащей в пл. АВС, в том числе и высоте треугольника ВН, ВН ⊥ АС.
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах МН⊥АС (ВН - проекция МН на пл. АВС) ⇒ МН=24.
Найдём ВН , используя две формулы нахождения площади ΔАВС.
S(ABC)=1/2*АС*ВН ⇒ ВН=2S/АС .
Полупериметр р=1/2*(11+13+20)=22 ,
S=√p*(p-a)(p-b)(p-c)=√(22*11*9*2)=66 .
ВН=2*66/11=12 .
ΔВМН: ∠МВН=90° , ВМ=√(МН²-ВН²)=√(24²-12²)=√432=12√3
Но вторую скобку заменить также "в лоб" мы не можем. Пойдём на небольшую хитрость. Возведём наше t в квадрат. Получим: t^2=x^2+2x*1/x+1/x^2=x^2+2+1/x^2.
Получившееся значение уж больно похоже на то, что нам нужно. Всю картину портит только двойка справа. Но поскольку двойка балом не правит и никак не зависит от х, то просто перенесём её влево к нашему t^2.
Тогда что мы имеем? А имеем мы вторую замену, поскольку только что выразили нашу первую скобку: x^2+1/x^2=t^2-2.
Теперь собираем урожай и производим замену. Получаем:
(t^2-2)+t=0 --> t^2+t-2=0. А это есть ни что иное как квадратное уравнение.
Находим дискриминант: D=1-4*(-2)=1+8=9.
И корни: t1= (-1+3)/2=1;
t2=(-1-3)/2=-2
Делаем обратную замену. Вспомним, что наше t=x+1/x.
Сначала подставим t1:
x+1/x=1 | домножим на х
x^2+1=x --> x^2-x+1=0. Получаем ещё одно квадратное уравнение, но уже относительно х. Находим его дискриминант: D=1-4<0. Дискриминант меньше нуля. Следовательно, корней нет.
Теперь подставим t2:
x+1/x=-2 |домножим на х
x^2+1=-2x --> x^2+2x+1=0. Решим квадратное уравнение. Посчитаем дискриминант: D=4-4=0. Найдём корень уравнения. x=(-2+/-0)/2=-1
Теперь смотрим на наши квадратные уравнения относительно х (первое с t не трогаем).
В первом квадратном уравнении у нас корней не было, во втором всего один. Он и является ответом
ответ: х=-1