Найти площадь треугольника, одна сторона которого лежит на касательной к графику функции 0.25(x^2+6x+1) в точке с абсциссой x₀=-1 , а две стороны - на касательных к графику этой функции, проходящих через точку M(0;-2).
f(x) =0,25(x²+6x+1) ; x₀ =-1. * * *f(x) =0,25(x²+6x+9 -8) = -2+0,25(x+3)² * * * --- Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀ имеет вид : y =f(x₀) + f '(x₀)*(x - x₀) ; f(x₀) =0,25(x₀²+6x₀+1) = 0,25( (-1)² +6*(-1) +1 ) = -1 f '(x) = (0,25(x²+6x+1) ) ' = 0,25(2x+6) =0,5(x+3). f '(x₀) = 0,5(x₀+3) = 0,5( -1+3) = 1 . y = - 1+1(x -(-1)) ⇔ y = x. * * * y =0,25(x₀²+6x₀+1) + 0,5(x₀+3) (x - x₀) * * * * * * одна сторона треугольника лежит на прямой y = x * * * Составим уравнения других касательных , они проходят через точку M (0 ; -2)_она одна из вершин треугольника) : y= kx - 2 * * * . y-(-2) =k*(x - 0) * * * kx -2 = 0,25(x²+6x+1) ⇔4kx-8 =x²+6x+1 ⇔x²-2(k-3)x+9=0 . D/4 =(k-3)²- 9 = 0⇒ [ k =3 ; k=0 , т.е. y =3x - 2 и y = - 2. * * * y=- 2 проходит через вершину G(-3 ; -2) параболы y = -2 + 0,25(x+3)² (точка минимума , где производная f '(x₁)= 0 * * * Определили_стороны лежать на прямые y =x ; y = 3x - 2 и y = - 2. * * * k =1; k =3 ; k =0 ⇒ линии не параллельны , они пересекаются и определяют вершины треугольника * * * A(1 ;1) ; B(-2 ;-2) ; C(0 ;-2) . Площадь можно определить разными но здесь просто BС | | OX ⇒ S =(1/2)* |BC| *h =(1/2)*2*3 = 3.
ответ: 3.
уравнения касательных можно было получить по другому : y = 0,25(x₁²+6x₁+1) + 0,5(x₁+3) (x -x₁) ; k =0,5(x₁+3) эта касательные проходит через точку M(0,-2) , поэтому : - 2 = 0,25(x₁²+6x₁+1) +0,5(x₁+3)(0 -x₁) ; - 8 = x₁² + 6x₁+1 - 2x₁² - 6x₁ ; x₁² -9 =0 ⇒ [ x₁=3 , x₁=-3 ; ⇒ соответственно [ k₁ =3 ; k₁ =0 .
f(x)=sinx+(1/2)sin2x Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке надо искать среди экстремумов функции и на границах отрезка. Ищем экстремумы функции, для этого берем производную и приравниваем ее к 0. f'(x)=cosx+cos2x cosx+cos2x=0 cosx+cos²x-sin²x=0 cosx+cos²x-(1-cos²x)=0 cosx+cos²x-1+cos²x=0 2cos²x+cosx-1=0 заменим y=cosx 2y²+y-1=0 D=1+4*2=9 √D=3 y₁=(-1-3)/4=-1 y₂=(-1+3)/4=1/2 cosx₁=-1, x₁=π+2πn, где n - целое cosx₂=1/2, x₂=+-π/3+2πn точки экстремумов на отрезке [0; 3п/2] будут π/3 и π f(0)=0 f(π/3)=√3/2+(1/2)*√3/2=2√3/4+√3/4=3√3/4 -максимум f(π)=0 f(3π/2)=-1 -минимум ответ: минимум в точке (3π/2; -1) максимиум в точке (π/3; 3√3/4)
ответ: y=1,5
x=3
Объяснение: