Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
y=(x^3)/3-(5/2)x^2+6х+1
Найдём производную y' = 1/3(3х^2) - 5/2 * 2x + 6 = х^2 - 5x + 6
Найдём стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю)
х^2 - 5x + 6 = 0
D = 25 - 4 * 6 = 1
х1 = (5 - 1)/ 2 = 2, х2 = (5 + 1)/ 2 = 3,
Поскольку производная представляет собой квадратичную функцию с положительным коэффициентом при x^2, то в интервалах (-беск; 2] и [3; +беск) производная положительна, а функция возрастает. В интервале [2; 3] производная отрицательна, а функция убывает.
Получается, что на интервале [0;1] который входит в интервал (-беск; 2], функция возрастает и наименьшее значение её будет на левом конце интервала, в точке х = 0 Унаим = 10.
Наибольшее значение функции будет на правом конце интервала при х = 1
Унаиб = 1/3 - 5/2 +6 +10 = 13+ 1/6
Словами: тринадцать целых одна шестая.