Отметим точки х=-3, х=0, х=20 на числовой прямой, проходя через эти точки кривая у=(х²-17х-60)/х меняет знак. Найдем знак на каждом из промежутков: _ + _ + ----------------------(-3)----------------0------------------------------------------------20--------------------
При любом x<0 верно x^16+x^8>x^12 (т.к. все слагаемые положительны из-за чётной степени), а значит, x^16-x^12+x^8>0. Осталось доказать, что -x+1>0. Перенесем -x в правую часть и получим x<1, что удовлетворяет нашему условию x<0, а значит, -x+1>0.
Т.к. x^16-x^12+x^8>0 и -x+1>0, всё выражение больше 0.
2) x=0
Подставим x=0 в x^16-x^12+x^8-x+1>0 и получим верное неравенство 1>0, т.е. и в этом случае всё выражение больше 0.
3) x>0
При любом x>0 верно x^16>x^12, а значит x^16-x^12>0. Осталось доказать, что x^8-x+1>0. При любом x>0 x^8>x, а значит, x^8-x>0. 1>0.
Т.к. x^16-x^12>0 и x^8-x>0 и 1>0, всё выражение больше 0.
Найдем нули числителя, решим квадратное уравнение:
х²-17х-60=0,
D=b²-4ac=(-17)²-4(-60)=289+240=529=23²
x=(17-23)/2=-3 или х=(17+23)/2=20
Отметим точки х=-3, х=0, х=20 на числовой прямой, проходя через эти точки кривая
у=(х²-17х-60)/х меняет знак.
Найдем знак на каждом из промежутков:
_ + _ +
----------------------(-3)----------------0------------------------------------------------20--------------------
ответ (-3;0)υ(20;+∞)