Алгебра: с логарифмами с логарифмами

1) нет решений2) 3) , где - целое числоПошаговое объяснение:Здравствуйте!1)Очевидно, что Заметим, что число - простое ( сначала будет считать, что , в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем: ( дает при делении на остаток )Возведем обе части равенства в степень:Поскольку в биноме Ньютона : каждый член, помимо члена , помножен на некоторую натуральную степень числа , то , поскольку - нечетное.Таким образом, дает при делении...

с логарифмами с логарифмами

👇

Увидеть ответ

Ответ:

shi55

19.12.2022

252

4,4(87 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

Binnez

19.12.2022

19.

Замена переменной:

$\sqrt{x^2-y^2}=u$ ⇒ x^2-y^2=u^2

$\sqrt{x-y}=v$ ⇒ x-y=v^2

$\left \{ {{u+v=6} \atop {u^2-v^2=12}} \right.$ $\left \{ {{u+v=6} \atop {(u-v)(u+v)=12}} \right.$ $\left \{ {{u+v=6} \atop {(u-v)\cdot 6=12}} \right.$ $\left \{ {{u+v=6} \atop {u-v=2}} \right.$ сложения: $\left \{ {{2u=8} \atop {v=6-u}} \right.$

u=4; v=2

$\left \{ {{\sqrt{x^2-y^2}=4 } \atop {\sqrt{x-y}=2 }} \right.$ $\left \{ {{x^2-y^2=16} \atop {x-y=4}} \right.$ $\left \{ {{(x-y)(x+y)=16} \atop {x-y=4}} \right.$ $\left \{ {{4\cdot (x+y)=16} \atop {x-y=4}} \right.$ $\left \{ {{x+y=4} \atop {x-y=4}} \right.$

сложения: 2х=8; x=4; y=0

О т в е т. (4;0)

20.

$(36^{sinx})^{cosx}=(6^2)^{sinx\cdot cosx}=6^{2sinx\cdot cosx}$

$6^{2sinx\cdot cosx}=6^{\sqrt{3} cosx}$ ⇒ $2sinx\cdot cosx=\sqrt{3} cosx$

$2sinx\cdot cosx-\sqrt{3} cosx=0$

$cosx\cdot(2sinx-\sqrt{3})=0$

cosx=0 или $2sinx-\sqrt{3}=0$ ⇒ $sinx=\frac{\sqrt{3} }{2}$

$x=\frac{\pi }{2}+\pi n, n \in Z$ или $x=(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

О т в е т. $\frac{\pi }{2}+\pi n, n \in Z$ ; $(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

Отрезку [2π; 3π] принадлежат корни: $\frac{7 \pi}{3} ; \frac{5 \pi}{2} ;\frac{8 \pi}{3}$

21.

ОДЗ: $\left \{ {{\frac{x-1}{2x+3}0 } \atop {(2x+3)^20}} \right.$ $\left \{ {{x < -\frac{3}{2}\cup x 1 } \atop {x\neq-\frac{3}{2} }} \right.$

x∈(-∞; -1,5) U(1;+∞)

$2log_{2}\frac{x-1}{2x+3} +log_{2}(2x+3)^2\geq 2$

По свойству логарифма степени:

$log_{2}(\frac{x-1}{2x+3})^2 +log_{2}(2x+3)^2\geq 2$

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

$log_{2}(\frac{x-1}{2x+3})^2 \cdot (2x+3)^2\geq 2$

$log_{2}({x-1)^2 \geq 2$

$log_{2}({x-1)^2 \geq log_{2}4$

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

$(x-1)^2\geq 4$ ⇒ $(x-1)^2- 4\geq0$

$(x-1-2)(x-1+2)\geq 0$

$(x-3)(x+1)\geq 0$

x∈(-∞;-1] U[3;+∞)

Найденные решения входят в ОДЗ,

О т в е т. (-∞;-1] U[3;+∞)

4,6(24 оценок)

Ответ:

миларыбка

19.12.2022

нет решений

$\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.$

$y=3k-1\\x=3k(5k-2)$ , где - целое число

Пошаговое объяснение:

Здравствуйте!

$x^2 =2003y-1\\$

Очевидно, что $x\neq 0 ; y0$

Заметим, что число 2003 - простое ( сначала будет считать, что , в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на

Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем:

$x^{2002} = 2003k+1$ ( дает при делении на 2003 остаток )

x^2 = 2003y-1

Возведем обе части равенства в 1001 степень:

$(x^2)^{1001} = (2003y-1)^{1001}\\x^{2002} = (2003y-1)^{1001}\\$

Поскольку в биноме Ньютона : $(2003y-1)^{1001}$ каждый член, помимо члена $(-1)^{1001}$ , помножен на некоторую натуральную степень числа 2003 , то $(2003y-1)^{1001} = 2003k +(-1)^{1001}=2003k-1$ , поскольку 1001 - нечетное.

Таким образом, $x^{2002}$ дает при делении на 2003 остаток или 2002 , то есть мы пришли к противоречию, а значит решений в целых числах нет.

2^x +1 =3y^2

Очевидно, что $x\geq 0$ ,поскольку в противном случае левая часть равенства нецелое число, а правая часть равенства целое число.

Предположим, что $x\geq 2$ , тогда 2^x делится на , а значит 2^x+1 дает при делении на 4 дает остаток 1.

Левая часть равенства число нечетное, но тогда и 3y^2 - нечетное, а значит - также нечетное.

y=2k-1 , где целое число

3y^2= 3(2k-1)^2 = 3(4k^2-4k+1) = 4n+3 , где -целое число

Таким образом, 3y^2 дает при делении на остаток , но 2^x+1 дает при делении на 4 остаток 1, то есть мы пришли к противоречию.

Откуда: $0\leq x\leq 1$

Проверим x=0

$2^0+1=3y^2\\2=3y^2$

Решений в целых числах нет.

Проверим x=1

$2^1 +1 =3y^2\\3=3y^2\\y^2=1\\y=+-1$

То есть решение уравнения :

$\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.$

3x=5y^2+4y-1

Разложим квадратный трехчлен из правой части на множители:

5y^2+4y-1 = 0

$D/4 = 2^2 -5*(-1) = 9 = 3^2\\y_{1,2} =\frac{-2+-3}{5}\\y_{1} =-1\\y_{2} =\frac{1}{5}\\5y^2+4y-1 = 5(y+1)(y-\frac{1}{5} ) =(y+1)(5y-1)\\3x = (y+1)(5y-1)$