Question

Доведіть, що для будь-яких додатних чисел а,b і с виконується нерівність аb(а + b -2 с ) + bс(b+ с- 2а) + ас(а + с-2b) > 0

Answer 1

$ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ac(a+c-2b)=a^2b+ab^2-2abc+b^2c+bc^2-2abc+a^2c+ac^2-2abc=(a^2b+bc^2)+(ab^2+b^2c)+a^2c+ac^2-6abc=b(a^2+c^2)+b^2(a+c)+ac(a+c)-6abc=b((a+c)^2-2ac)+(a+c)(b^2+ac)-6abc=b(a+c)^2-2ac+(a+c)(b^2+ac)-6abc=(a+c)(ab+bc+b^2+ac)-8abc=(a+c)(b(b+c)+a(b+c))-8abc=(a+c)(b+c)(a+b)-8abc.$

Используем неравенство Коши о средних:

$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}\\\\\frac{a+c}{2}\geq \sqrt{ac}\Leftrightarrow a+c\geq 2\sqrt{ac}\\\\\frac{b+c}{2}\geq \sqrt{bc}\Leftrightarrow b+c\geq 2\sqrt{ac}$

Перемножив все три неравенства, получаем, что $(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8abc$, причем для положительных чисел равенство возможно только в случае $a=b=c=1$ (действительно: (1+1)(1+1)(1+1) ≥ 8 · 1 · 1 · 1 - верно). Неравенство доказано.