108 - 36x > 0 ; x < 3
4 + x > 0 ; x > -4
x^2 - 11x + 24 > 0; x € (-беск. ; 3) U (8; + беск.)
log 6 (108 - 36x) > log 6 ((x^2 - 11x +24) × (x + 4)
log 6 (108 - 36x) > log 6 (x^3 - 11x^2 + 24x + 4x^2 - 44x + 96)
x^3 - 11x^2 + 24x + 4x^2 - 44x + 96 < 108 - 36x
x^3 - 7x^2 + 16x - 12 < 0
y = x^3 - 7x^2 + 16x - 12 ; D(y) = R
y = (x - 2)^2 × (x-3)
y = 0, x = 2 ; x = 3
(метод интервалов)
x € (-беск. ; 2) U (2 ; 3)
{x € (-беск. ; 2) U (2 ; 3)
{x < 3
{x > -4
{x € (-беск. ; 3) U (8; + беск.)
x € (-4 ; 2) U (2 ; 3)
log(6) (108 - 36x) > log (6) (x^2 - 11x + 24) + log (6) (x+4)
log(a) b ОДЗ a>0 b>0 a≠1
итак ищем ОДЗ тело логарифма больше 0
1. 108 - 36x > 0 x < 3
2. x^2 - 11x + 24 > 0
D = 121 - 96 = 25
x12=(11+-5)/2=8 3
(х - 3)(х - 8) > 0
x∈ (-∞ 3) U (8 +∞)
3. x + 4 > 0 x > -4
ОДЗ x∈(-4 3)
log(6) (108 - 36x) > log (6) (x^2 - 11x + 24)*(x+4)
так как основание логарифма больше 1, знак не меняется
108 - 36x > (x - 3)(x - 8)(x + 4)
36(3 - х) > (x - 3)(x - 8)(x + 4)
36(х - 3) + (x - 3)(x - 8)(x + 4) < 0
(x - 3)(x² - 4x - 32 + 36) < 0
(x - 3)(x² - 4x + 4) < 0
(x - 2)²(x - 3) < 0
применяем метод интервалов
(2)(3)
x ∈(-∞ 2) U (2 3) пересекаем с ОДЗ x∈(-4 3)
ответ x∈(-4 2) U (2 3)