Давайте начнем с решения первого уравнения относительно переменной у:
1. 3у - 2ху = 2
Сначала вынесем у общий множитель (если такой есть):
у(3 - 2х) = 2
Теперь разделим обе части уравнения на выражение в скобках (3 - 2х):
у = 2 / (3 - 2х)
Таким образом, мы получили выражение для у через х.
Продолжим, подставив это выражение для у во второе уравнение:
х + 2ху = 5
х + 2х(2 / (3 - 2х)) = 5
Теперь выполним операции по упрощению выражения. Умножим 2х на (2 / (3 - 2х)):
х + (4х / (3 - 2х)) = 5
Теперь приведем дробь к общему знаменателю. Для этого умножим оба числителя на (3 - 2х):
х(3 - 2х) + 4х = 5(3 - 2х)
Раскроем скобки:
3х - 2х^2 + 4х = 15 - 10х
Соберем все слагаемые с переменной х в одну часть уравнения, а все константы (числа без переменных) - в другую:
-2х^2 + 7х + 10х - 15 = 0
Упростим это уравнение:
-2х^2 + 17х - 15 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти значения х:
Дискриминант D = b^2 - 4ac, where a = -2, b = 17, c = -15.
D = 17^2 - 4(-2)(-15)
Вычислим:
D = 289 - 120
D = 169
Дискриминант равен 169. Теперь рассмотрим три случая:
1. Если D > 0, то у нас есть два различных вещественных корня х.
2. Если D = 0, то у нас есть один вещественный корень х.
3. Если D < 0, то у нас нет вещественных корней.
В нашем случае, D > 0, поэтому у нас есть два различных вещественных корня. Продолжим решение:
Найдем значения х с помощью формулы:
х = (-b ± √D) / (2a)
Переменная а равна -2, переменная b равна 17, и D равно 169. Подставим это в формулу:
х = (-17 ± √169) / (2*(-2))
Упростим:
х = (-17 ± 13) / (-4)
1. При положительном значении в знаменателе:
х = (-17 + 13) / (-4)
х = -4 / -4
х = 1
2. При отрицательном значении в знаменателе:
х = (-17 - 13) / (-4)
х = -30 / -4
х = 7.5
Итак, у нас есть два возможных значения для переменной х: 1 и 7.5.
Теперь давайте найдем значения у, подставляя значения х в первое уравнение:
1. При х = 1:
у = 2 / (3 - 2 * 1)
у = 2 / (3 - 2)
у = 2 / 1
у = 2
Таким образом, при х = 1, у = 2.
2. При х = 7.5:
у = 2 / (3 - 2 * 7.5)
у = 2 / (3 - 15)
у = 2 / (-12)
у = -1/6
Таким образом, при х = 7.5, у = -1/6.
Итак, мы нашли два возможных решения для данной системы уравнений:
1. х = 1, у = 2
2. х = 7.5, у = -1/6
1. 3у - 2ху = 2
2. х + 2ху = 5
Давайте начнем с решения первого уравнения относительно переменной у:
1. 3у - 2ху = 2
Сначала вынесем у общий множитель (если такой есть):
у(3 - 2х) = 2
Теперь разделим обе части уравнения на выражение в скобках (3 - 2х):
у = 2 / (3 - 2х)
Таким образом, мы получили выражение для у через х.
Продолжим, подставив это выражение для у во второе уравнение:
х + 2ху = 5
х + 2х(2 / (3 - 2х)) = 5
Теперь выполним операции по упрощению выражения. Умножим 2х на (2 / (3 - 2х)):
х + (4х / (3 - 2х)) = 5
Теперь приведем дробь к общему знаменателю. Для этого умножим оба числителя на (3 - 2х):
х(3 - 2х) + 4х = 5(3 - 2х)
Раскроем скобки:
3х - 2х^2 + 4х = 15 - 10х
Соберем все слагаемые с переменной х в одну часть уравнения, а все константы (числа без переменных) - в другую:
-2х^2 + 7х + 10х - 15 = 0
Упростим это уравнение:
-2х^2 + 17х - 15 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти значения х:
Дискриминант D = b^2 - 4ac, where a = -2, b = 17, c = -15.
D = 17^2 - 4(-2)(-15)
Вычислим:
D = 289 - 120
D = 169
Дискриминант равен 169. Теперь рассмотрим три случая:
1. Если D > 0, то у нас есть два различных вещественных корня х.
2. Если D = 0, то у нас есть один вещественный корень х.
3. Если D < 0, то у нас нет вещественных корней.
В нашем случае, D > 0, поэтому у нас есть два различных вещественных корня. Продолжим решение:
Найдем значения х с помощью формулы:
х = (-b ± √D) / (2a)
Переменная а равна -2, переменная b равна 17, и D равно 169. Подставим это в формулу:
х = (-17 ± √169) / (2*(-2))
Упростим:
х = (-17 ± 13) / (-4)
1. При положительном значении в знаменателе:
х = (-17 + 13) / (-4)
х = -4 / -4
х = 1
2. При отрицательном значении в знаменателе:
х = (-17 - 13) / (-4)
х = -30 / -4
х = 7.5
Итак, у нас есть два возможных значения для переменной х: 1 и 7.5.
Теперь давайте найдем значения у, подставляя значения х в первое уравнение:
1. При х = 1:
у = 2 / (3 - 2 * 1)
у = 2 / (3 - 2)
у = 2 / 1
у = 2
Таким образом, при х = 1, у = 2.
2. При х = 7.5:
у = 2 / (3 - 2 * 7.5)
у = 2 / (3 - 15)
у = 2 / (-12)
у = -1/6
Таким образом, при х = 7.5, у = -1/6.
Итак, мы нашли два возможных решения для данной системы уравнений:
1. х = 1, у = 2
2. х = 7.5, у = -1/6