Question

Решите систему уравнений Решите систему уравнений

Answer 1

Рассмотрим второе уравнение и заметим, что $\sqrt{\frac{2x}{3x-2y} }\cdot\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}=1$

Сделаем замену $\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}=t\geq 0$. В итоге имеем:

$t+\frac{1}{t}=2,\\\\t^2-2t+1=0\Rightarrow t=1$

Т.е.

$\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}=1\Rightarrow\frac{3x-2y}{2x}=1,\\\\ 3x-2y=2x\Rightarrow x=2y$

Подставляем в первое уравнение:

$x^2-18=x(2x-9);\\\\x^2-18=2x^2-9x;\\\\x^2-9x+18=0.$

По теореме Виета $\left \{ {{x_1+x_2=9} \atop {x_1x_2=18}} \right.$, откуда $x_1=3, x_2=6$.

Из равенства $x=2y$ находим $y$:

$y=\frac{x}{2};\\\\ y_1=\frac{x_1}{2}=\frac{3}{2},\\\\ y_2=\frac{x_2}{2}=\frac{6}{2}=3$

ОТВЕТ: (3; 1,5), (6; 3).