Question

Найдите a11, если для членов арифметической прогрессии верно равенство а1+а3+...+а21=а2+а4+...+а20+15.(с объяснением

Answer 1

$(a_1+a_3+\ldots+a_{21})-(a_2+a_4+\ldots+a_{21})=15;$

$a_1+(a_3-a_2)+(a_5-a_4)+\ldots+(a_{21}-a_{20})=15;$

$a_1+d+d+\ldots +d=15;\ a_1+10d=15; a_{11}=15$

ответ: 15

Объяснение. Мне кажется, единственный вопрос, который может возникнуть - это сколько раз нужно прибавлять d к d. Можно просто выписать все слагаемые и их пересчитать, но это несолидно. Лучше сделаем так. Все скобки во второй строке имеют вид

$(a_{2k+1}-a_{2k}),$ где k меняется от 1 в первой скобке до 10 в последней. Поэтому их 10 штук. А то, что $a_m=a_{m-1}+d$ и $a_m=a_1+(m-1)d,$ в частности, $a_{11}=a_1+10d,$ все должны знать назубок.

Answer 2

ответ: a₁₁=15

Объяснение:

Дано:

а₁+а₃+...+а₂₁ = а₂+а₄+...+а₂₀+15

Найти а₁₁

Решение

1) Всего в арифметической прогрессии 21 член.

Теперь каждый из них выразим через первый член а₁ и знаменатель прогрессии d.

а₂=a₁+d

а₃=a₁+2d

а₄=a₁+3d

а₆=a₁+5d

а₁₁=a₁+10d

a₂₀=a₁+19d                        

а₂₁=a₁+20d

2) Левая часть данного равенства представлена суммой 11-ти нечетных членов прогрессии. Найдем её.

а₁+а₃+...+а₂₁ = а₁+(a₁+2d)+...+(а₁+20d) =(a₁+a₁+20d)*11/2 = 11*(a₁+10d)

3) Правая часть данного равенства представлена суммой 10-ти четных членов прогрессии и числа 15. Найдем её.

а₂+а₄+...+а₂₀+15 = (a₁+d+a₁+19d)*10/2 + 15 = 10*(a₁+10d)+15

4) Теперь данное равенство имеет вид:

11*(a₁+10d) = 10*(a₁+10d)+15        

Проведем преобразования, приведем подобные члены и получим:

11a₁+110d = 10a₁+100d+15

(11a₁ - 10a₁) + (110d - 100d) = 15

a₁+ 10d = 15

a₁₁=15