Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
у=х2-8х+17, у=-х2+10х-19

Answer 1

Решение:

Вначале найдем точки пересечения этих двух функций (а квадратное уравнение можем решить при теоремы Виета):    

$x^2-8x+17=-x^2+10x-19\\\\2x^2-18x+36=0\\\\x^2-9x+18=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}x_1=3\\x_2=6\end{array}\right \\\\y_1 = 3^2-8 \cdot 3 + 17 = 2\\y_2 = 6^2 - 8 \cdot 6 + 17 = 5 \\\\\Big(3;2 \Big ) \; and \;\; \Big(6;5 \Big)$

Графики смотрите ниже.

После этого будем считать интеграл по следующей формуле (Ньютона - Лейбница):

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

При этом $f(x) = -2x^2+18x-36$ и $a=3$, $b=6$:

$\displaystyle \int\limits^6_3 { \Big(-2x^2+18x-36 \Big)} \, dx =\bigg ( - \frac{2x^3}{3} + 9x^2 - 36x \bigg ) \; \Big | ^6_3 \; = \; \\\\= \bigg ( - \frac{2 \cdot 6^3}{3} + 9 \cdot 6^2 - 36 \cdot 6 \bigg ) - \bigg ( - \frac{2 \cdot 3^3}{3} + 9 \cdot 3^2 - 36 \cdot 3 \bigg ) = \\\\= \bigg ( -144 + 324 - 216 \bigg) - \bigg ( - 18 + 81 - 108 \bigg ) =\\\\= -36 - \Big (-45 \Big ) = 45 - 36 = 9$

Задача решена!

ответ: 9.