РЕШИТЬ Изобразите систему координат в пространстве и A(-2; 3; -4).
3. Найдите координаты 2a⃗ −b⃗ , если a⃗ {−4;1;5},b⃗ {3;−5;−1}.
4. Выясните, при каких значениях s и , вектора a⃗ {3;;4} и b⃗ {;1;−8} - коллинеарны.
5. Найдите координаты точки K, если A(0;3;4); В(1;4;4), а точка К-середина АВ.
6. Найдите расстояние от точки P(-2; 3; 1) до оси абсцисс.
7. В тетраэдре ABCD точка M – середина ребра BC. Выразите ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗ .
3. Для нахождения координат вектора 2a⃗ −b⃗, нужно умножить каждую координату вектора a⃗ на 2 и вычесть соответствующую координату вектора b⃗. Таким образом, получим:
2a⃗ −b⃗ = 2*(-4; 1; 5) - (3; -5; -1) = (-8; 2; 10) - (3; -5; -1) = (-8-3; 2-(-5); 10-(-1)) = (-11; 7; 11).
Таким образом, координаты вектора 2a⃗ −b⃗ равны (-11; 7; 11).
4. Для того чтобы вектора a⃗ и b⃗ были коллинеарны, они должны быть параллельны и иметь одно направление или противоположное направление. Для проверки коллинеарности нужно найти отношение любых двух соответствующих координат векторов и сравнить их. Из условия видно, что вектор a⃗ = (3; ; 4) и b⃗ = (; 1; −8).
Сравниваем координаты:
(3/; /1) = (3/x1 = 1).
Также можем представить (3/; /1) как (3/1/x3 = -8) или (3y2 = x3 = -8).
Таким образом, уравнение для координат векторов a⃗ и b⃗ будет:
3y2 = -8.
Поэтому у векторов a⃗ и b⃗ отношение координат равно -8/3.
5. Чтобы найти координаты точки K, используем формулу середины отрезка:
К = (А+В)/2,
где А(0;3;4), В(1;4;4).
Подставляем значения:
К = ((0+1)/2; (3+4)/2; (4+4)/2) = (1/2; 7/2; 4).
Таким образом, координаты точки K равны (1/2; 7/2; 4).
6. Чтобы найти расстояние от точки P(-2; 3; 1) до оси абсцисс, нужно определить проекцию точки P на эту ось. Так как ось абсцисс находится на плоскости x=0, то проекция точки P на ось абсцисс будет P'(-2; 0; 0).
Для нахождения расстояния между точками P и P' используем формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2),
где (x1; y1; z1) - координаты точки P, (x2; y2; z2) - координаты точки P'.
Подставляем значения:
d = √((-2-(-2))^2 + (0-3)^2 + (0-1)^2) = √(0 + 9 + 1) = √10.
Таким образом, расстояние от точки P(-2; 3; 1) до оси абсцисс равно √10.
7. Чтобы выразить вектор ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ через вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗ , используем формулу для нахождения координат вектора с помощью суммы координат векторов:
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗,
где ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ - искомый вектор, ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗ - заданные вектора.
Подставляем значения:
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = (3; 4; 2) + (-2; 1; -6) + (1; 2; -3) = (3-2+1; 4+1+2; 2-6-3) = (2; 7; -7).
Таким образом, вектор ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ равен (2; 7; -7).