Question

Найдите общий вид первообразных для функции ​ ">

Answer 1

а).

$\boxed {\displaystyle f(x) = 2-x^3+\frac{1}{x^3} }$

$\displaystyle F(x) = \frac{2x^1}{1} - \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{-3+1}}{{-3+1}} + C = 2x - \frac{x^4}{4} + \frac{x^{-2}}{2} + C = \boxed {2x - \frac{1}{2x^2} - \frac{x^4}{4} + C }$

б).

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2} - \sin \, x$

$\displaystyle F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - \Big (- \cos \, x \Big ) +C = \cos \, x - \frac {x^ {-1}} {1} + C = \boxed {\cos \, x - \frac {1} {x} + C}$

в).

$\boxed {\displaystyle f(x) = x - \frac{2}{x^5} + \cos \, x}$

$\displaystyle F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} - 2 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + \sin \, x + C = \boxed {\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4 } + \sin \, x + C}$

г).

$\boxed {\displaystyle {f(x) = 5x^2 -1 } }$

$\displaystyle F(x) = 5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 1 \cdot \frac{x^1}{1} + C = \boxed { \frac{5x^3}{3} - x + C}$

________________________

Примечание.

В решении были использованы следующие правила:

Если $f(x) = x^n$, то $F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{{n+1}} + C$ (если $n \ne -1$).Если $f(x) = \sin \, x$, то $F(x) = - \cos \, x + C$.Если $f(x) = \cos \, x$, то $F(x) = \sin \, x + C$.