Question

Найти дифференциал 1-го порядка функции z=(3x-6)^tgy

Answer 1

$z=(3x-6)^{\mathrm{tg }y}$

Дифференциал первого порядка:

$dz=\dfrac{\partial z}{\partial x} dx+\dfrac{\partial z}{\partial y} dy$

Найдем частные производные:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =\left((3x-6)^{\mathrm{tg }y}\right)'_x=\mathrm{tg }y(3x-6)^{\mathrm{tg }y-1}\cdot(3x-6)'_x=$

$=\mathrm{tg }y(3x-6)^{\mathrm{tg }y-1}\cdot3=3\mathrm{tg }y(3x-6)^{\mathrm{tg }y-1}$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =\left((3x-6)^{\mathrm{tg }y}\right)'_y=(3x-6)^{\mathrm{tg }y}\ln(3x-6)\cdot(\mathrm{tg }y)'_y=$

$=(3x-6)^{\mathrm{tg }y}\ln(3x-6)\cdot\dfrac{1}{\cos^2y}=\dfrac{\ln(3x-6)}{\cos^2y}(3x-6)^{\mathrm{tg }y}$

Тогда дифференциал принимает вид:

$dz=3\mathrm{tg }y(3x-6)^{\mathrm{tg }y-1}dx+\dfrac{\ln(3x-6)}{\cos^2y}(3x-6)^{\mathrm{tg }y}dy$